Topologisch nilpotentes Element

Ein topologisch nilpotentes Element i​st ein Element e​ines topologischen Ringes, dessen Potenzen g​egen Null konvergieren. Diese Elemente finden Anwendung i​n der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ ein topologischer Ring. Ein Element ${\displaystyle a\in A}$ heißt topologisch nilpotent, falls die Folge ${\displaystyle (a^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle 0}$ konvergiert. Das heißt, dass für jede offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle 0}$ ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass ${\displaystyle a^{n}\in U}$ ist.[1]

Eigenschaften

• Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.
• Ist ${\displaystyle a\in A}$ topologisch nilpotent und ${\displaystyle x\in A}$ potenz-beschränkt, so ist ${\displaystyle ax}$ topologisch nilpotent.

Beispiele

• Ein Element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ist genau dann topologisch nilpotent, wenn ${\displaystyle |x|<1}$ gilt.
• Ist allgemeiner ${\displaystyle A}$ ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element ${\displaystyle x\in A}$ genau dann topologisch nilpotent, wenn ${\displaystyle |x|<1}$ gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die topologisch nilpotenten Elemente ein Ideal ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ des Ringes der potenz-beschränkten Elemente ${\displaystyle A^{\circ }}$. Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces

Einzelnachweise

1. Wedhorn: Def. 5.25