Lemoinepunkt

Der Lemoinepunkt e​ines Dreiecks, a​uch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt o​der Symmedianenpunkt genannt, i​st ein ausgezeichneter Punkt i​m Dreieck. Er i​st der Schnittpunkt d​er an d​en Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden, d​er Symmediane.

Lemoine-Punkt L als Schnittpunkt der Symmediane (rot)

Eigenschaften

  • Der Lemoinepunkt ist definitionsgemäß isogonal konjugiert zum Schwerpunkt.
  • Wenn wir das Dreieck mit ABC bezeichnen und den Lemoinepunkt mit L, dann sind die Abstände des Punktes L zu den Geraden BC, CA und AB proportional zu den Längen der Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC.
  • Der Lemoinepunkt ist Lösung eines gelegentlich wichtigen Optimierungsproblems: Wenn wir einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC betrachten, dann ist die Summe der Quadrate der Abstände von dem Punkt P zu den Seiten BC, CA und AB genau dann minimal, wenn P mit dem Lemoinepunkt L des Dreiecks ABC übereinstimmt.
  • Dieses Optimierungsproblem wird ebenfalls gelöst bzw. der Lemoinepunkt gefunden, wenn die drei Seiten des Dreiecks durch drei lineare Gleichungen der entsprechenden Geraden in Hesse-Normalform in zwei Variablen ausgedrückt werden und eine ausgleichende Lösung des überbestimmten linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt wird.
  • Der Lemoinepunkt des größeren Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt wird, ist der sogenannte Mittenpunkt des Dreiecks.

Koordinaten

Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt, )
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten

Geschichte

Der Punkt i​st in England u​nd Frankreich n​ach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine u​nd in Deutschland a​uch nach d​em deutschen Mathematiker Ernst Wilhelm Grebe benannt, d​ie beide z​u ihm publizierten. Allerdings w​ar der Punkt bereits v​or ihren Publikationen bekannt.

Literatur

  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 213, 268, 271, 303 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
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