Mittenpunkt

Der Mittenpunkt (nicht z​u verwechseln m​it Mittelpunkt) i​st einer d​er besonderen Punkte e​ines Dreiecks. Man erhält i​hn dadurch, d​ass man d​ie Mittelpunkte d​er drei Ankreise d​es gegebenen Dreiecks m​it den zugehörigen Seitenmittelpunkten verbindet. Die s​o entstandenen Verbindungsgeraden schneiden s​ich im Mittenpunkt. Bewiesen w​urde diese Eigenschaft 1836 v​on dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich v​on Nagel.

Dreieck ABC mit Mittenpunkt M (rot), Seitenmittelpunkten (M_a, M_b, M_c) und Ankreismittelpunkten (J_A, J_B, J_C)

Eigenschaften

• Der Mittenpunkt ist zugleich der Lemoine-Punkt des Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt ist.
• Der Mittenpunkt liegt mit dem Inkreismittelpunkt und dem Lemoine-Punkt auf einer Geraden.
• Der Mittenpunkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Gergonne-Punkt auf einer Geraden.
• Der Mittenpunkt liegt mit dem Höhenschnittpunkt und dem Spieker-Punkt auf einer Geraden.
• Der Mittenpunkt ist der Mittelpunkt der Mandart-Inellipse.

Koordinaten

Mittenpunkt (${\displaystyle X_{9}}$)
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle (b+c-a)\,:\,(c+a-b)\,:\,(a+b-c)}$ ${\displaystyle =\,\cot {\frac {\alpha }{2}}\,:\,\cot {\frac {\beta }{2}}\,:\,\cot {\frac {\gamma }{2}}}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle a(b+c-a)\,:\,b(c+a-b)\,:\,c(a+b-c)}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mittenpunkt. In: MathWorld (englisch).
• Mittenpunkt – eine Visualisierung mit GeoGebra