Lemma von Whitehead

Das Lemma v​on Whitehead, benannt n​ach John Henry Constantine Whitehead, i​st eine Aussage a​us dem mathematischen Gebiet d​er Ringtheorie. Das Lemma beschreibt d​ie Kommutatorgruppe d​er linearen Gruppe über e​inem Ring m​it Einselement.

Die lineare Gruppe

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement. Dann ist auch der Matrizenring, das heißt die Menge ${\displaystyle M_{n}(R)}$ der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Komponenten aus ${\displaystyle R}$, ein Ring mit Einselement. Darin sei ${\displaystyle GL(n,R)}$ die Gruppe der invertierbaren Elemente, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle n}$-ten Grades. Die Abbildung

${\displaystyle GL(n,R)\rightarrow GL(n+1,R),\,{\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}&0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}&0\\0&\ldots &0&1\end{pmatrix}}}$

ist offenbar ein injektiver Gruppenhomomorphismus, mit dem man ${\displaystyle GL(n,R)}$ als Untergruppe von ${\displaystyle GL(n+1,R)}$ auffassen kann. Die Vereinigung ${\displaystyle \textstyle GL(R):=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }GL(n,R)}$ heißt lineare Gruppe, manchmal auch stabile lineare Gruppe, nach Konstruktion handelt es sich um die Gruppe aller invertierbaren ${\displaystyle \infty \times \infty }$-Matrizen, die bis auf endliche viele Ausnahmen mit der unendlichen Einheitsmatrix übereinstimmen.

In jeder Gruppe ${\displaystyle GL(n,R)}$ sind die Elementarmatrizen vom Typ 1 enthalten, sie erzeugen eine Untergruppe ${\displaystyle E(n,R)}$ und vermöge obigen Homomorphismus kann man ${\displaystyle E(n,R)}$ als Untergruppe von ${\displaystyle E(n+1,R)}$ auffassen und wieder die Vereinigung ${\displaystyle \textstyle E(R)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E(n,R)}$ bilden. Offenbar ist ${\displaystyle E(R)\subset GL(R)}$ eine Untergruppe.

Aussage des Lemmas von Whitehead

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement. Dann ist ${\displaystyle E(R)=[GL(R),GL(R)]}$, das heißt ${\displaystyle E(R)}$ ist die Kommutatorgruppe von ${\displaystyle GL(R)}$. Darüber hinaus ist ${\displaystyle E(R)=[E(R),E(R)]}$, das heißt ${\displaystyle E(R)}$ ist eine perfekte Gruppe.[1][2]

Bemerkungen

${\displaystyle E(R)}$ ist als Kommutatorgruppe ein Normalteiler in ${\displaystyle GL(R)}$, das heißt man kann die Faktorgruppe ${\displaystyle GL(R)/E(R)}$ bilden. Diese hat eine große Bedeutung in der algebraischen K-Theorie und wird dort mit ${\displaystyle K_{1}(R)}$ bezeichnet. Da ${\displaystyle K_{1}(R)=GL(R)/E(R)=GL(R)/[GL(R),GL(R)]}$, ist ${\displaystyle K_{1}(R)}$ die Abelisierung von ${\displaystyle GL(R)}$, insbesondere handelt es sich um eine abelsche Gruppe.

Ist ${\displaystyle R}$ ein Körper, so hat man bekanntlich eine Determinanten-Abbildung ${\displaystyle \det :GL(R)\rightarrow R^{*}=R\setminus \{0\}}$ in die Gruppe der invertierbaren Elemente des Körpers. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle E(R)}$ genau der Kern der Determinantenabbildung ist und die Determinantenabbildung daher einen Isomorphismus ${\displaystyle K_{1}(R)=GL(R)/E(R)\rightarrow R^{*}}$ induziert.[3]

Der einfachste Körper ist der Restklassenkörper ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /2=\{0,1\}}$ und nach obigem ist ${\displaystyle GL(\mathbb {Z} /2)/E(\mathbb {Z} /2)\cong (\mathbb {Z} /2)^{*}=\{1\}}$ einelementig und daher ${\displaystyle GL(\mathbb {Z} /2)=E(\mathbb {Z} /2)}$. Es ist

${\displaystyle GL(2,\mathbb {Z} /2)=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\}}$

eine sechselementige, nicht-kommutative Gruppe, d​ie daher z​ur S₃ isomorph s​ein muss. Deren Kommutatorgruppe i​st dreielementig, genauer

${\displaystyle [GL(2,\mathbb {Z} /2),GL(2,\mathbb {Z} /2)]=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\}}$,

aber ${\displaystyle GL(2,\mathbb {Z} /2)}$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt, das heißt für den Grad 2 gilt ${\displaystyle E(2,\mathbb {Z} /2)\neq [GL(2,\mathbb {Z} /2),GL(2,\mathbb {Z} /2)]}$. Dieses Beispiel zeigt, dass das Lemma von Whitehead für endliche Dimensionen nicht gilt. Man kann also nicht auf den Übergang zu unendlich-dimensionalen Matrizen verzichten.

Einzelnachweise

1. Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.1.4
2. John Milnor: Introduction to algebraic K -theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971. Abschnitt 3.1
3. Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.2.2