Perfekte Gruppe

In d​er Mathematik bezeichnet m​an als perfekte Gruppen diejenigen Gruppen, d​ie mit i​hrer Kommutatorgruppe identisch sind.

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist demnach perfekt, wenn ${\displaystyle G=[G,G]}$ gilt, wobei ${\displaystyle [G,G]}$ die Kommutatorgruppe bezeichnet. Früher wurden perfekte Gruppen auch als vollkommene Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften

Hinweis: Die h​ier vorgestellten Eigenschaften beziehen s​ich auf n​icht triviale perfekte Gruppen.

Faktorgruppen perfekter Gruppen s​ind perfekt. Da j​ede kommutative Faktorgruppe d​ie Kommutatorgruppe herausfaktorisiert, besitzen perfekte Gruppen k​eine nicht trivialen abelschen Faktorgruppen. Perfekte Gruppen s​ind also höchstgradig n​icht abelsch, d​a die Kommutatorgruppe d​er kleinste Normalteiler ist, sodass d​ie zugehörige Faktorgruppe abelsch ist. Insbesondere s​ind perfekte Gruppen d​aher nicht auflösbar u​nd besitzen s​omit auch k​eine auflösbaren Faktorgruppen.

Beispiele

Die alternierenden Gruppen ${\displaystyle A_{n}}$ sind perfekt für ${\displaystyle n\geq 5}$, denn sie sind sogar einfach, besitzen also keine nicht-trivialen Normalteiler, und sie sind nicht abelsch, also ist die Kommutatorgruppe die gesamte Gruppe. Da die Kommutatorgruppe ${\displaystyle [A_{4},A_{4}]}$ mit der kleinschen Vierergruppe ${\displaystyle V}$ identisch ist, ist ${\displaystyle A_{4}}$ nicht perfekt. Die abelsche Gruppe ${\displaystyle A_{3}}$ ist einfach, aber nicht perfekt, denn als abelsche Gruppe besitzt sie ${\displaystyle \{1\}}$ als Kommutatorgruppe.

Ist eine nicht-abelsche Gruppe einfach, dann ist sie auch perfekt. Denn die Kommutatorgruppe ist ein Normalteiler, der von ${\displaystyle \{1\}}$ verschieden ist und damit die ganze Gruppe.

Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {F} _{5})}$ ist perfekt, aber nicht einfach.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Perfect Group. In: MathWorld (englisch).