Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:
(Additivität)
(Homogenität)
  • ist alternierend:

Eigenschaften

  • Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation : , wobei das Signum der Permutation bezeichnet.
  • Sind linear abhängig, so gilt . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
  • Sind zwei Determinantenfunktionen und , dann gibt es ein so, dass . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

  • Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
  • , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
  • Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

  • H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
  • S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.