Adjunktion (Algebra)

Unter Adjunktion versteht m​an im mathematischen Teilgebiet d​er Algebra d​as Hinzufügen v​on weiteren Elementen z​u einem Körper o​der Ring. Bei Körpern spricht m​an speziell v​on der Körperadjunktion u​nd bei Ringen entsprechend v​on der Ringadjunktion.

Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Körper

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle f\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist der Faktorring

${\displaystyle L=K[X]/(f)}$

nach dem von ${\displaystyle f}$ erzeugten Ideal ein Körper.

Das Polynom ${\displaystyle f}$ hat in ${\displaystyle L}$ eine Nullstelle, nämlich das Bild ${\displaystyle \xi }$ von ${\displaystyle X}$. Man sagt deshalb: ${\displaystyle L}$ entsteht aus ${\displaystyle K}$ durch Adjunktion einer Nullstelle ${\displaystyle \xi }$ von ${\displaystyle f}$ und schreibt ${\displaystyle K(\xi )=L}$.

Häufig ist ${\displaystyle f}$ nur implizit in der Notation enthalten, zum Beispiel ist bei ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ das Polynom ${\displaystyle f=X^{2}-2}$ gemeint. Normiert man den Leitkoeffizienten von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle 1}$, so ist ${\displaystyle f}$ durch die Bedingung der Irreduzibilität eindeutig bestimmt. Es findet sich für diesen Fall eine explizite Darstellung des Körpers: ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b\cdot {\sqrt {2}}|a,b\in \mathbb {Q} \}}$

Ist der Grad von ${\displaystyle f}$ gleich ${\displaystyle n}$, so lassen sich die Elemente von ${\displaystyle K(\xi )}$ eindeutig in der Form

${\displaystyle a_{n-1}\xi ^{n-1}+\ldots +a_{1}\xi +a_{0}}$ mit ${\displaystyle a_{i}\in K}$ für i = 0,1…,n-1

schreiben.

Der Grad ${\displaystyle [K(\xi ):K]}$ der Körpererweiterung ist gleich ${\displaystyle n}$.

Adjunktion transzendenter Elemente zu einem Körper

Möchte man einen Körper ${\displaystyle K}$ um ein Element erweitern, das nicht algebraisch sein soll, spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten oder eines transzendenten Elementes ${\displaystyle T}$. Der so entstehende Körper ${\displaystyle K(T)}$ ist definiert als der Quotientenkörper des Polynomringes ${\displaystyle K[T]}$. Seine Elemente sind formale rationale Funktionen

${\displaystyle {\frac {a_{n}T^{n}+\ldots +a_{1}T+a_{0}}{b_{m}T^{m}+\ldots +b_{1}T+b_{0}}}.}$

Ringadjunktion

Liegt an Stelle eines Körper allgemeiner ein kommutativer unitärer Ring ${\displaystyle R}$ vor, so spricht man auch von Erweiterung durch Adjunktion. Die Erweiterungen sind von der Form ${\displaystyle R[X]/(f)}$ mit einer Unbestimmten ${\displaystyle X}$ und einem Polynom ${\displaystyle f\in R[X]}$. Dabei hängt das Verhalten einer derartigen Erweiterung entscheidend davon ab, ob der Leitkoeffizient von ${\displaystyle f}$ eine Einheit des Ringes ist oder nicht, siehe Ganzes Element.

Beim Übergang von einem Ring ${\displaystyle R}$ zum Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Z} \!\left[{\frac {1}{2}}\right]=\mathbb {Z} [X]/(2X-1)}$, der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-2)}$, der Ring der Elemente von ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, die die Form

${\displaystyle \{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$

haben.

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]/(X^{n}-1)}$; Ringhomomorphismen von diesem Ring in einen Ring ${\displaystyle R}$ entsprechen den ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln in ${\displaystyle R}$.

Siehe auch

• Adjunktion (Einselement)