Hyperkomplexe Zahl

Hyperkomplexe Zahlen s​ind Verallgemeinerungen d​er komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen a​ls algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden a​uch die Quaternionen a​ls die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

Übersicht über einige gängige Mengen hyperkomplexer Zahlen mit ihrer jeweiligen Dimension und ihren Teilmengenrelationen.

Definition

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra ${\displaystyle A}$ über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs ${\displaystyle n}$, wenn

• sie als Vektorraum endliche Dimension ${\displaystyle n}$ hat und wenn
• sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein ${\displaystyle e\in A}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle a\in A}$ die Gleichung ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$ gilt.

Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra ${\displaystyle A}$ bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

Eigenschaften

• Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
• Die Addition ist invertierbar.
• Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.

• Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra ${\displaystyle A}$ ist bilinear über den reellen Zahlen, d. h., es gilt ${\displaystyle (\alpha x)(\beta y)=\alpha \beta (xy)~~\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ;~x,y\in A}

Folgende Eigenschaften werden n​icht gefordert:

• Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
• Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
• Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

Konjugation

Hyperkomplexe Zahlen lassen s​ich wie f​olgt als Summe darstellen:

${\displaystyle a=a_{0}1+a_{1}\mathrm {i} _{1}+\dotsb +a_{n}\mathrm {i} _{n}}$.

Die Größen ${\displaystyle \mathrm {i} _{k}}$ für ${\displaystyle k>0}$ heißen imaginäre Einheiten. Die zu ${\displaystyle a}$ konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden (${\displaystyle \mathrm {i} _{k}\mapsto -\mathrm {i} _{k}}$). Die zu ${\displaystyle a}$ konjugiert komplexe Zahl wird durch ${\displaystyle {\bar {a}}}$ oder ${\displaystyle a^{*}}$ dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

${\displaystyle {\bar {a}}=a_{0}1-a_{1}\mathrm {i} _{1}-\dotsb -a_{n}\mathrm {i} _{n}}$.

Die Konjugation i​st eine Involution a​uf den hyperkomplexen Zahlen, d​as heißt, dass

${\displaystyle {\bar {\bar {a}}}=a}$.

Beispiele

Komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, definiert durch

${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$  mit  ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$.

Anormal-komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Anormal-komplexe Zahl

Die anormal-komplexen Zahlen s​ind definiert durch

${\displaystyle z=a+bj}$  mit  ${\displaystyle j^{2}=1}$.

Duale Zahlen

→ Hauptartikel: Duale Zahl

Die dualen Zahlen s​ind definiert durch

${\displaystyle z=a+b\varepsilon }$  mit  ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$.

Man beachte, d​ass sie nichts m​it Dualzahlen (Darstellung v​on Zahlen i​m Zweiersystem) z​u tun haben.

Quaternionen

→ Hauptartikel: Quaternion

Die Quaternionen s​ind definiert durch

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} }$  mit  ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1}$.

Die Quaternionen (Symbol oft ${\displaystyle \mathbb {H} }$ nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

Biquaternionen

→ Hauptartikel: Biquaternion

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ebenso wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bilden.

Es g​ibt zwei unterschiedliche Biquaternion: Hamilton-Biquaternion u​nd Clifford-Biquaternion.

Oktonionen

→ Hauptartikel: Oktave (Mathematik)

Die Oktonionen (Symbol ${\displaystyle \mathbb {O} }$, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

Sedenionen

→ Hauptartikel: Sedenion

Die Sedenionen (Symbol ${\displaystyle \mathbb {S} }$) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

Quadratische Matrizen

→ Hauptartikel: Matrix (Mathematik)

Sei ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist dann eine Algebra mit der ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ isomorphe Unteralgebra.

Im Fall ${\displaystyle n=2}$ gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:

• Ein Nebendiagonalelement ist 0 → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen
• Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen
• Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen

Bemerkung: Jede Matrix d​es dritten Typs, d​urch die Determinante dividiert, i​st eine Drehmatrix d​es zweidimensionalen Raums; j​ede Matrix d​es zweiten Typs d​urch ihre Determinante (falls d​iese von 0 verschieden ist) entspricht e​iner Lorentz-Transformation i​n einem 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum.

Bemerkungen

• Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.
• Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

Siehe auch

• Koquaternion
• Bikomplexe Zahl

Literatur

• Ulf von Rauchhaupt: Von natürlich bis hyperkomplex Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 11. Juni 2017
• Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen (Grundwissen Mathematik). 3. Aufl. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• Isaj L. Kantor, Alexander S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen (Mathematische Schülerbücherei; Bd. 95). B.G. Teubner, Leipzig 1978.
• N.N. Vil'yams: Hypercomplex number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).