Sedenion

Die Sedenionen (Symbol $\mathbb {S}$ ) sind 16-dimensionale hyperkomplexe Zahlen. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Oktonionen.

𝕊

Die Multiplikation der Sedenionen ist weder kommutativ noch alternativ (und damit auch nicht assoziativ). Sie ist nur noch potenz-assoziativ und flexibel. Weiterhin erfüllen die Sedenionen die Jordan-Identität und bilden daher eine nichtkommutative Jordan-Algebra. Sedenionen besitzen Nullteiler.

Jedes Sedenion ist eine reelle Linearkombination der Einheiten $e_{i},\ i=0,\ldots ,15$ , wobei $e_{0}=1$ ist:

s=\sum _{i=0}^{15}x_{i}e_{i}=x_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}+x_{8}e_{8}+x_{9}e_{9}+x_{10}e_{10}+x_{11}e_{11}+x_{12}e_{12}+x_{13}e_{13}+x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}

Multiplikation

Eine mögliche Multiplikationstafel der Einheiten ist:

⋅	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
1	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
e₁	e₁	−1	e₃	−e₂	e₅	−e₄	−e₇	e₆	e₉	−e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄
e₂	e₂	−e₃	−1	e₁	e₆	e₇	−e₄	−e₅	e₁₀	e₁₁	−e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃
e₃	e₃	e₂	−e₁	−1	e₇	−e₆	e₅	−e₄	e₁₁	−e₁₀	e₉	−e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂
e₄	e₄	−e₅	−e₆	−e₇	−1	e₁	e₂	e₃	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	−e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁
e₅	e₅	e₄	−e₇	e₆	−e₁	−1	−e₃	e₂	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	−e₈	e₁₁	−e₁₀
e₆	e₆	e₇	e₄	−e₅	−e₂	e₃	−1	−e₁	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	−e₈	e₉
e₇	e₇	−e₆	e₅	e₄	−e₃	−e₂	e₁	−1	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	−e₈
e₈	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₁₂	−e₁₃	−e₁₄	−e₁₅	−1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
e₉	e₉	e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄	−e₁	−1	−e₃	e₂	−e₅	e₄	e₇	−e₆
e₁₀	e₁₀	e₁₁	e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃	−e₂	e₃	−1	−e₁	−e₆	−e₇	e₄	e₅
e₁₁	e₁₁	−e₁₀	e₉	e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂	−e₃	−e₂	e₁	−1	−e₇	e₆	−e₅	e₄
e₁₂	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₄	e₅	e₆	e₇	−1	−e₁	−e₂	−e₃
e₁₃	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	e₈	e₁₁	−e₁₀	−e₅	−e₄	e₇	−e₆	e₁	−1	e₃	−e₂
e₁₄	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	e₈	e₉	−e₆	−e₇	−e₄	e₅	e₂	−e₃	−1	e₁
e₁₅	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	e₈	−e₇	e₆	−e₅	−e₄	e₃	e₂	−e₁	−1

Dabei ist die linke Spalte als erster bzw. linker Faktor zu lesen, die obere Zeile als zweiter bzw. rechter Faktor:

e_{1}\cdot e_{2}=e_{3}

, aber

e_{2}\cdot e_{1}=-e_{3}

Siehe auch Antikommutativität.

Es gilt

\prod _{i=0}^{15}e_{i}\ =\ e_{0}\cdot e_{1}\cdot e_{2}\cdot \ \ldots \ \cdot e_{15}\ =-1\

.

Nullteiler

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass die Sedenionen Nullteiler besitzen. Das bedeutet, es gibt Sedenionen, die selbst nicht null sind, aber bei der Multiplikation mit einem anderen von null verschiedenen Sedenion trotzdem null ergeben:

(e_{3}+e_{10})\cdot (e_{6}-e_{15})=e_{3}e_{6}+e_{10}e_{6}-e_{3}e_{15}-e_{10}e_{15}=e_{5}+e_{12}-e_{12}-e_{5}=0

Der Raum der Nullteiler mit Norm 1 ist homöomorph zur kompakten Form der exzeptionellen Lie-Gruppe G₂.[1]

Einzelnachweise

R. Guillermo Moreno (1997): The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers, arxiv:q-alg/9710013.

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[1] R. Guillermo Moreno (1997): The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers, arxiv:q-alg/9710013.