Heronisches Dreieck

In d​er Geometrie versteht m​an unter e​inem heronischen Dreieck e​in Dreieck, b​ei dem d​ie Seitenlängen u​nd der Flächeninhalt rationale Zahlen sind. Es i​st benannt n​ach Heron v​on Alexandria.

Beispiele

Jedes Dreieck, dessen Seitenlängen e​in pythagoreisches Tripel bilden, i​st heronisch, d​a die Seitenlängen e​ines solchen Dreiecks ganzzahlig s​ind und d​a sein Flächeninhalt gleich d​em halben Produkt d​er beiden kürzeren Seitenlängen ist. (Aus d​er Umkehrung d​es Satzes v​on Pythagoras f​olgt nämlich d​ie Rechtwinkligkeit d​es Dreiecks.)

Dreieck mit den Seitenlängen c, e und b + d sowie der Höhe a

Ein heronisches Dreieck muss nicht unbedingt rechtwinklig sein. Dies zeigt sich am Beispiel des gleichschenkligen Dreiecks mit den Seitenlängen ${\displaystyle 5,5}$ und ${\displaystyle 6}$. Dieses Dreieck lässt sich aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen ${\displaystyle 3,4,5}$ zusammensetzen. Der Flächeninhalt beträgt daher ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot 6\cdot 4=12}$. Das Beispiel lässt sich leicht verallgemeinern: Nimmt man ein pythagoreisches Tripel ${\displaystyle (a,b,c)}$ mit ${\displaystyle c}$ als größter Zahl und ein weiteres pythagoreisches Tripel ${\displaystyle (a,d,e)}$ mit ${\displaystyle e}$ als größter Zahl, so kann man, wie aus der nebenstehenden Zeichnung erkennbar, die entsprechenden Dreiecke entlang der beiden Seiten mit der Länge ${\displaystyle a}$ zu einem heronischen Dreieck zusammensetzen. Das neue Dreieck hat die Seitenlängen ${\displaystyle c,e}$ und ${\displaystyle b+d}$. Für den Flächeninhalt erhält man

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ (einhalbmal Grundseite mal Höhe).

Es ist nun interessant zu fragen, ob man durch dieses Verfahren, also das Zusammenfügen zweier rechtwinkliger Dreiecke, die in einer Kathetenlänge übereinstimmen, jedes heronische Dreieck erhält. Die Antwort ist nein. So kann etwa das heronische Dreieck mit den Seitenlängen ${\displaystyle 0{,}5,0{,}5}$ und ${\displaystyle 0{,}6}$, also die um den Faktor 10 geschrumpfte Version des oben beschriebenen Dreiecks, natürlich nicht in Teildreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen zerlegt werden. Ähnliches gilt für das heronische Dreieck mit den Seitenlängen ${\displaystyle 5,29,30}$ und dem Flächeninhalt ${\displaystyle 72}$, da keine der drei Höhen dieses Dreiecks ganzzahlig ist. Lässt man für Tripel jedoch beliebige rationale (also nicht notwendig natürliche) Zahlen zu, so lässt sich die gestellte Frage mit ja beantworten. (Man beachte, dass man jedes Tripel aus rationalen Zahlen dadurch erhalten kann, dass man die Werte eines Tripels aus ganzen Zahlen durch dieselbe ganze Zahl dividiert.)

In e​inem heronischen Dreieck i​st der Tangens j​edes Halb(innen)winkels e​ine rationale Zahl, s​o auch d​er Sinus bzw. Cosinus j​edes ganzen Innenwinkels.

Satz zur Zerlegbarkeit in rechtwinklige heronische Dreiecke

Jedes heronische Dreieck lässt s​ich in z​wei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, d​eren Seitenlängen d​urch pythagoreische Tripel a​us rationalen Zahlen gegeben sind.

Beweis des Satzes

Man betrachte wieder die obige Skizze, wobei dieses Mal vorausgesetzt wird, dass ${\displaystyle c,e,b+d}$ und die Dreiecksfläche ${\displaystyle A}$ rational sind. Wir können annehmen, dass die Bezeichnungen so gewählt wurden, dass die Seitenlänge ${\displaystyle b+d}$ am größten ist. Damit ist gesichert, dass das von der gegenüberliegenden Ecke auf diese Seite gefällte Lot innerhalb des Dreiecks liegt. Um zu zeigen, dass die Tripel ${\displaystyle (a,b,c)}$ und ${\displaystyle (a,d,e)}$ pythagoreische Tripel sind, muss man beweisen, dass ${\displaystyle a,b}$ und ${\displaystyle d}$ rational sind.

Da für d​ie Dreiecksfläche

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\;\!a\;\!(b+d)}$

gilt, kann man nach ${\displaystyle a}$ auflösen und findet so

${\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}}$ .

Dieser Rechenausdruck ist rational, da alle Zahlen der rechten Seite rational sind. Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass auch ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle d}$ rational sind. Aus dem Satz des Pythagoras, angewandt auf die beiden rechtwinkligen Dreiecke erhält man

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

und

${\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}}$.

Subtraktion dieser Gleichungen ergibt:

${\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}}$,

${\displaystyle (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}}$,

${\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}}$.

Die rechte Seite der letzten Gleichung muss rational sein, da nach der Voraussetzung ${\displaystyle c,e}$ und ${\displaystyle b+d}$ rational sind. Damit ist bewiesen, dass ${\displaystyle b-d}$ rational ist. Aus dieser Aussage folgt wegen der Rationalität von ${\displaystyle b+d}$, dass auch ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle d}$ rational sind.

Fast gleichseitige heronische Dreiecke

Heronische Dreiecke können nicht gleichseitig sein, da die Fläche eines solchen Dreiecks mit ganzzahliger Seitenlänge immer irrational ist. Es gibt jedoch unendlich viele Heronische Dreiecke der „beinahe“ gleichseitigen Form ${\displaystyle (n-1,n,n+1)}$.[1][2] Die Folge der ganzen Zahlen, die zu so einer Lösung führen, ist ${\displaystyle n=4,14,52,\dotsc }$ (Folge A003500 in OEIS) und hängt mit einer Lucas-Folge ${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}$ und der Pell-Gleichung ${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$ zusammen.

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Heronian Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Sascha Kurz: On the Generation of Heronian Triangles. (Memento vom 8. Mai 2016 im Internet Archive). (PDF; 269 kB), Uni-Bayreuth.

Einzelnachweise

1. R. Hoppe: Rationales Dreieck, dessen Seiten auf einander folgende ganze Zahlen sind. In: Archiv der Mathematik und Physik. Band 64, 1880, S. 441–443.
2. H.W. Gould: A triangle with integral sides and area. In: Fib. Quart. Band 11, 1973, S. 27–39 (math.ca [PDF]).