Heintze-Gruppe

In d​er Geometrie s​ind Heintze-Gruppen gewisse auflösbare Lie-Gruppen, d​ie nach e​inem Satz v​on Ernst Heintze d​ie einzigen negativ gekrümmten homogenen Räume sind.

Sie s​ind von Bedeutung a​ls wichtige Klasse v​on Beispielen i​n der „Large Scale Geometry“. Eine offene Vermutung besagt, d​ass Heintze-Gruppen n​ur dann quasi-isometrisch sind, w​enn sie isomorph sind.

Definitionen

Eine Heintze-Gruppe ist eine Lie-Gruppe, die ein semidirektes Produkt ${\displaystyle N\rtimes _{\alpha }\mathbb {R} }$ mit einer einfach zusammenhängenden, nilpotenten Lie-Gruppe ${\displaystyle N}$ und einer Derivation ${\displaystyle \alpha \colon {\mathfrak {n}}\to {\mathfrak {n}}}$ der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=Lie(N)}$ ist, welche der Bedingung genügt, dass alle Eigenwerte von ${\displaystyle \alpha }$ positiven Realteil haben.

Man spricht von einer reinen Heintze-Gruppe, wenn alle Eigenwerte von ${\displaystyle \alpha }$ positive reelle Zahlen sind.

Eine reine Heintze-Gruppe ist vom Carnot-Typ, wenn der Eigenraum zum kleinsten Eigenwert von ${\displaystyle \alpha }$ die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ erzeugt.

Wenn ${\displaystyle N}$ eine abelsche Gruppe ist, heißen die Heintze-Gruppen ${\displaystyle N\rtimes _{\alpha }\mathbb {R} }$ vom abelschen Typ.

Eigenschaften

Heintze-Gruppen s​ind auflösbare Lie-Gruppen. Sie h​aben negative Schnittkrümmung.

Beispiele

Alle symmetrischen Räume nichtkompakten Typs vom Rang 1 sind Heintze-Gruppen, insbesondere auch der reell-hyperbolische und der komplex-hyperbolische Raum. Man erhält diese symmetrischen Räume als semidirektes Produkt einer Horosphäre (die eine nilpotente Lie-Gruppe ist) mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Satz von Heintze

Alle homogenen Räume negativer Schnittkrümmung s​ind Heintze-Gruppen.

Klassifikation bis auf Quasi-Isometrie

Eine offene Vermutung besagt, d​ass quasi-isometrische Heintze-Gruppen isomorph sind. Diese Vermutung i​st bewiesen für Heintze-Gruppen v​om Carnot-Typ u​nd vom abelschen Typ.

Literatur

• Ernst Heintze: On homogeneous manifolds of negative curvature. Math. Ann. 211, 23–34, 1974.
• Ursula Hamenstädt: Zur Theorie von Carnot-Carathéodory Metriken und ihren Anwendungen. Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 1986.
• Pierre Pansu: Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. Ann. of Math. (2), 129(1), 1–60, 1989.
• Pierre Pansu: Dimension conforme et sphére à l’infini des variétés à courbure négative. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 14(2), 177–212, 1989.
• Xiangdong Xie: Large scale geometry of negatively curved ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rtimes _{\alpha }\mathbb {R} }$. Geom. Topol., 18(2), 831–872, 2014.
• Matias Carrasco, Emiliano Sequiera: On quasi-isometry invariants associated to the derivation of a Heintze group., ArXiv