Riemannscher homogener Raum

Im mathematischen Gebiet d​er Differenzialgeometrie i​st ein Riemannscher homogener Raum (häufig a​uch nur Homogener Raum) e​in Raum, d​er „in a​llen Punkten gleich aussieht“.

Definition

Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in M}$ gibt es eine Isometrie ${\displaystyle g\in \operatorname {Isom} (M)}$ mit ${\displaystyle g(x)=y}$.

Beschreibung mittels Lie-Gruppen

Jeder Riemannsche homogene Raum i​st von d​er Form

${\displaystyle M=G/H}$

für eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine kompakte Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$.

Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle H}$ der Quotientenraum ${\displaystyle G/H}$ eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von ${\displaystyle H}$ auf der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der ${\displaystyle G/H}$ ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches ${\displaystyle Ad(H)}$-invariantes Skalarprodukt auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ existiert genau dann, wenn ${\displaystyle H}$ kompakt ist.

Riemannsche Metrik

Ein Riemannscher homogener Raum ${\displaystyle G/H}$ hat nach Definition eine ${\displaystyle G}$-invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf ${\displaystyle G}$ hochheben lässt. Die Quotientenabbildung ${\displaystyle G\to G/H}$ ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von ${\displaystyle G/H}$ mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von ${\displaystyle G}$ kennt.

Beispiele

• Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
• Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
• Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume ${\displaystyle G/H}$ mit einer nicht-kompakten Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$.

Literatur

• Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1975.