Heegaard-Floer-Homologie

In der Mathematik ist Heegaard-Floer-Homologie eine Invariante einer geschlossenen Spin^c-3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$. Sie wird mittels Heegaard-Zerlegung von ${\displaystyle Y}$ durch Lagrange-Floer-Homologie konstruiert. Man erhält mehrere Homologiegruppen, die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen.

Die Heegaard-Floer-Homologie w​urde in e​iner langen Serie v​on Arbeiten v​on Peter Ozsváth u​nd Zoltán Szabó entwickelt.

Mittels Konstruktion geeigneter Filtrierungen lassen sich Invarianten konstruieren. Ein Beispiel hierfür ist die zu einem Knoten ${\displaystyle K}$ in einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$ assoziierte Knotenhomologie. Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Kontakthomologie, eine Invariante von Kontaktstrukturen.

Heegaard-Floer-Homologie k​ann algorithmisch berechnet werden.[1]

Konstruktion

Vorbereitungen

Sei ${\displaystyle Y}$ eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit und

${\displaystyle Y=H_{1}\cup _{\Sigma }H_{2}}$

eine Heegaard-Zerlegung von ${\displaystyle Y}$ mit Heegaard-Fläche ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ und Heegaard-Diagramm ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{g},\beta _{1},\ldots ,\beta _{g})}$.

Betrachte d​as symmetrische Produkt

${\displaystyle Sym^{g}(\Sigma _{g})=(\Sigma _{g}\times \ldots \times \Sigma _{g})/S_{g}}$,

wobei ${\displaystyle S_{g}}$ die auf dem Produkt von ${\displaystyle g}$ identischen Faktoren wirkende symmetrische Gruppe auf ${\displaystyle g}$ Elementen ist. Es ist eine glatte Mannigfaltigkeit und eine komplexe Struktur auf ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ induziert eine komplexe Struktur auf dem symmetrischen Produkt.

Aus dem Heegaard-Diagramm ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{g},\beta _{1},\ldots ,\beta _{g})}$ erhält man zwei total reelle ${\displaystyle g}$-dimensionale Tori ${\displaystyle T_{\alpha }=\alpha _{1}\times \ldots \times \alpha _{g},T_{\beta }=\beta _{1}\times \ldots \times \beta _{g}}$ in der komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Sym^{g}(\Sigma _{g})}$.

Für zwei Schnittpunkte ${\displaystyle x,y\in T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ wähle man zwei verbindende Wege ${\displaystyle a\subset T_{\alpha },b\subset T_{\beta }}$. Die Differenz ${\displaystyle a-b}$ ist eine Schleife in ${\displaystyle Sym^{g}(\Sigma _{g})}$ und repräsentiert also ein Element

${\displaystyle \epsilon (x,y)\in H_{1}(Sym^{g}(\Sigma _{g}))/(H_{1}(T_{\alpha })\oplus H_{1}(T_{\beta }))\cong H_{1}(Y)}$.

Mittels Morse-Theorie kann man (zu einem gewählten Basispunkt ${\displaystyle z\in \Sigma _{g}\setminus (\alpha _{1}\cup \ldots \cup \beta _{g})}$) jedem Schnittpunkt ${\displaystyle x\in T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ eine [[Spin^c-Struktur]] und damit ein der Spin^c-Struktur eindeutig entsprechendes Element ${\displaystyle s_{z}(x)\in H^{2}(Y)}$ zuordnen, so dass für alle Paare von Schnittpunkten jeweils ${\displaystyle s_{z}(x)-s_{z}(y)}$ Poincaré-dual zu ${\displaystyle \epsilon (x,y)}$ ist.[2]

Bezeichne ${\displaystyle \pi _{2}(x,y)}$ die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen ${\displaystyle u\colon D^{2}\to Sym^{g}(\Sigma _{g})}$, die ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle -i}$ auf ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ sowie die Kreisbögen ${\displaystyle S^{1}\cap \left\{z\colon Re(z)\geq 0\right\}}$ nach ${\displaystyle T_{\alpha }}$ und ${\displaystyle S^{1}\cap \left\{z\colon Re(z)\leq 0\right\}}$ nach ${\displaystyle T_{\beta }}$ abbilden, sogenannten Whitney-Scheiben. Für ${\displaystyle \phi \in \pi _{2}(x,y)}$ der Modulraum der holomorphen Abbildungen in dieser Homotopieklasse, den man mittels kleiner Störungen als glatte Mannigfaltigkeit realisieren kann. Er kommt mit einer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Wirkung durch die ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Wirkung mittels ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle -i}$ erhaltender komplexer Automorphismen von ${\displaystyle D^{2}}$. Bezeichne ${\displaystyle {\widehat {M}}(\phi )=M(\phi )/\mathbb {R} }$. Mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz kann man ${\displaystyle \mu (\phi )=dim(M(\phi ))}$ berechnen. Weiter sei ${\displaystyle n_{z}(\phi )}$ (zu dem gewählten Basispunkt ${\displaystyle z}$) die Schnittzahl von ${\displaystyle \phi }$ mit ${\displaystyle \left\{z\right\}\times Sym^{g-1}(\Sigma _{g})}$. Schließlich definieren wir ${\displaystyle c(\phi )}$ als die (mit Vorzeichen gezählte) Anzahl von Punkten in ${\displaystyle {\widehat {M}}(\phi )}$ falls ${\displaystyle \mu (\phi )=1}$, und ${\displaystyle c(\phi )=0}$ falls ${\displaystyle \mu (\phi )\not =0}$.

Definition für rationale Homologiesphären

Sei ${\displaystyle Y}$ eine rationale Homologiesphäre, d. h., ${\displaystyle H_{1}(Y)}$ ist endlich. Gegeben sei wie oben eine Heegaard-Zerlegung, ein Basispunkt ${\displaystyle z}$ und eine (einem eindeutigen Element aus ${\displaystyle H^{2}(Y)}$ entsprechende) Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. Sei ${\displaystyle {\widehat {CF}}}$ die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Punkten ${\displaystyle x\in T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ mit ${\displaystyle s_{z}(x)={\mathfrak {t}}}$. Definieren den Randoperator ${\displaystyle \partial \colon {\widehat {CF}}\to {\widehat {CF}}}$ durch

${\displaystyle \partial x=\Sigma _{y\in T_{\alpha }\cap T_{\beta },\phi \in \pi _{2}(x,y)\mid s_{z}(y)={\mathfrak {t}},n_{z}(y)=0}c(\phi )y}$.

Die Heegaard-Floer-Homologie ${\displaystyle {\widehat {HF}}}$ ist definiert als die Homologie von ${\displaystyle ({\widehat {CF}},\partial )}$. Ozsváth-Szabó beweisen, dass ${\displaystyle {\widehat {HF}}}$ nicht von der Wahl der Heegaard-Zerlegung, des Basispunktes, der komplexen Struktur und der Störungen abhängt und somit tatsächlich eine Invariante ${\displaystyle {\widehat {HF}}(Y,{\mathfrak {t}})}$ definiert. Man definiert ${\displaystyle {\widehat {HF}}(Y)=\bigoplus _{{\mathfrak {t}}\in H^{2}(Y)}{\widehat {HF}}(Y,{\mathfrak {t}})}$. Die Homologiegruppen haben eine relative Gradierung durch ${\displaystyle gr(x,y)=\mu (\phi )-2n_{z}(\phi )}$ für ein beliebiges ${\displaystyle z\in \pi (x,y)}$.

Weiter sei ${\displaystyle CF^{\infty }}$ die freie abelsche Gruppe erzeugt von Paaren ${\displaystyle \left[x,i\right]}$ aus ${\displaystyle x\in T_{\alpha }\cap T_{\beta },i\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle s_{z}(x)={\mathfrak {t}}}$. Sei ${\displaystyle CF^{-}}$ der von Paaren ${\displaystyle \left[x,i\right]}$ mit ${\displaystyle i<0}$ erzeugte Unterkomplex und ${\displaystyle CF^{+}=CF^{\infty }/CF^{-}}$. Man definiert eine relative Gradierung durch ${\displaystyle gr(\left[x,i\right],\left[y,j\right])=gr(x,y)+2(i-j)}$ und einen Randoperator durch

${\displaystyle \partial \left[x,i\right]=\Sigma _{y\in T_{\alpha }\cap T_{\beta }}\Sigma _{\phi \in \pi _{2}(x,y)}c(\phi )\left[y,i-n_{z}(\phi )\right]}$.

Die Gruppen ${\displaystyle HF^{\infty },HF^{+},HF^{-}}$ werden definiert als die Homologiegruppen der Komplexe ${\displaystyle CF^{\infty },CF^{+},CF^{-}}$ mit dem Randoperator ${\displaystyle \partial }$. Ozsváth-Szabó beweisen, dass für rationale Homologiesphären ${\displaystyle HF^{\infty }}$ stets isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[U,U^{-1}\right]}$ für den durch ${\displaystyle U(\left[x,i\right])=\left[x,i-1\right]}$ gegebenen Morphismus von ${\displaystyle CF^{\infty }}$ ist, und dass die Homologiegruppen ${\displaystyle HF^{\pm }}$ nicht von der Wahl der Heegaard-Zerlegung, des Basispunktes, der komplexen Struktur und der Störungen abhängen, also tatsächlich Invarianten ${\displaystyle HF^{\pm }(Y,{\mathfrak {t}})}$ der rationalen Homologiesphäre ${\displaystyle Y}$ und einer Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ definieren. Schließlich definiert man ${\displaystyle HF^{+}(Y)=\bigoplus _{{\mathfrak {t}}\in H^{2}(Y)}HF^{+}(Y,{\mathfrak {t}})}$.

Definition für allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten

Für 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle b_{1}(Y)\not =0}$ ist ${\displaystyle \pi _{2}(x,y)}$ größer und man hat in der Definition des Randoperators unendlich viele Homotopieklassen mit ${\displaystyle \mu (\phi )=1}$. Man kann beweisen, dass es nur in endlich vielen dieser Homotopieklassen holomorphe Scheiben gibt, weshalb man wieder eine endliche Summe erhält. Dafür muss man sich aber auf spezielle Heegaard-Diagramme einschränken. Mit dieser Einschränkung funktionieren die Definitionen genau wie im Fall rationaler Homologiesphären.

Die verschiedenen Homologiegruppen hängen über natürliche lange exakte Sequenzen miteinander zusammen:

${\displaystyle \ldots \rightarrow HF^{-}(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow HF^{\infty }(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow HF^{+}(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow \ldots }$

und mit dem oben definierten Morphismus ${\displaystyle U\colon HF^{\infty }(Y,{\mathfrak {t}})\to HF^{\infty }(Y,{\mathfrak {t}})}$

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\widehat {HF}}(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow HF^{+}(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow HF^{+}(Y,{\mathfrak {t}})\rightarrow \ldots }$

Berechnungen

Beispiele

• Für ${\displaystyle Y=S^{3}}$ ist ${\displaystyle HF^{+}(Y)=\mathbb {Z} \left[U,U^{-1}\right]/\mathbb {Z} \left[U\right]}$ und ${\displaystyle {\widehat {HF}}(Y)=\mathbb {Z} }$.

• Ein L-Raum ist eine rationale Homologiesphäre ${\displaystyle Y}$, für die ${\displaystyle {\widehat {HF}}(Y)}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${\displaystyle \sharp H^{2}(Y)}$ ist. Dies ist der Fall für ${\displaystyle S^{3}}$ und alle Linsenräume.

• Für die Brieskorn-Sphäre ${\displaystyle Y=\Sigma (2,3,5)}$ ist ${\displaystyle HF_{k}^{+}(Y)=\mathbb {Z} }$ für gerade ${\displaystyle k\geq 2}$, und ${\displaystyle HF_{k}^{+}(Y)=0}$ sonst.

• Für die Brieskorn-Sphäre ${\displaystyle Y=\Sigma (2,3,7)}$ ist ${\displaystyle HF_{k}^{+}(Y)=\mathbb {Z} }$ für ${\displaystyle k=-1}$ und gerade ${\displaystyle k\geq 0}$, und ${\displaystyle HF_{k}^{+}(Y)=0}$ sonst.

Surgery exact triangle

Sei ${\displaystyle K}$ ein Knoten in einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$, mit Meridian ${\displaystyle m}$ und einer Longitude ${\displaystyle l}$. Sei ${\displaystyle Y_{0}}$ die durch ${\displaystyle l}$-Chirurgie an ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle Y_{1}}$ die durch ${\displaystyle (m+l)}$-Chirurgie an ${\displaystyle K}$ erhaltene 3-Mannigfaltigkeit. Dann hat man exakte Sequenzen

${\displaystyle \ldots {\widehat {HF}}(Y)\rightarrow {\widehat {HF}}(Y_{0})\rightarrow {\widehat {HF}}(Y_{1})\rightarrow \ldots }$

und

${\displaystyle \ldots HF^{+}(Y)\rightarrow HF^{+}(Y_{0})\rightarrow HF^{+}(Y_{1})\rightarrow \ldots }$.

Literatur

• Ozsváth-Szabó: Holomorphic disks and invariants for closed 3-manifolds, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1027–1158.
• Ozsváth-Szabó: Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1159–1245.

Weblinks

• Ozsváth-Szabó: An introduction to Heegaard Floer homology
• Ozsváth-Szabó: Lectures on Heegaard Floer homology
• J. E. Greene: Heegaard Floer homology, Notices of the AMS, Januar 2021
• Why should I care about Heegaard-Floer theory? (mathoverflow)

Einzelnachweise

1. S. Sarkar, J. Wang: An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies. Ann. Math. (2) 171, No. 2, 1213–1236 (2010).
2. P. Ozsváth, Z. Szabó: Holomorphic disks and invariants for closed three-manifolds