Gleichverteilung modulo 1

Die Theorie d​er Gleichverteilung modulo 1 beschäftigt s​ich mit d​em Verteilungsverhalten v​on Folgen reeller Zahlen. Eine Folge heißt gleichverteilt modulo 1, w​enn die relative Anzahl a​n Folgengliedern i​n einem Intervall g​egen die Länge dieses Intervalls konvergiert.

Definition

Sei ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ eine Folge reeller Zahlen. Zu Zahlen ${\displaystyle a,b}$ mit ${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$ bezeichne ${\displaystyle A([a,b),N)}$ die Anzahl jener Folgenglieder mit Index kleiner oder gleich ${\displaystyle N}$, deren Bruchteil im Intervall ${\displaystyle [a,b)}$ liegt. In mathematischer Schreibweise:

${\displaystyle A([a,b),N):=\#\left\{1\leq n\leq N:~\{x_{n}\}\in [a,b)\right\}}$.

Unter dem Bruchteil ${\displaystyle \{x\}}$ einer Zahl ${\displaystyle x}$ versteht man dabei die Zahl selbst minus die nächstkleinere ganze Zahl (Beispielsweise ist der Bruchteil ${\displaystyle \{1{,}4142\}=1{,}4142-1=0{,}4142}$, und der Bruchteil ${\displaystyle \{-0{,}7\}=-0{,}7-(-1)=0{,}3}$). Der Bruchteil einer Zahl liegt immer im Intervall ${\displaystyle [0,1)}$.

Die Folge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ heißt nun gleichverteilt modulo 1, wenn für jedes Intervall ${\displaystyle [a,b)\subset [0,1)}$ die relative Anzahl der Folgenglieder in diesem Intervall gegen die Länge des Intervalls strebt. In mathematischer Schreibweise: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ heißt gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {A([a,b),N)}{N}}=b-a}$    für alle Zahlen ${\displaystyle a,b}$ mit ${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$ gilt.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass die Folge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ im Intervall ${\displaystyle [0,1)}$ gleichmäßig verteilt ist (daher auch die Bezeichnung „gleichverteilt modulo 1“).

Eigenschaften

Ein wichtiges Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Folge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ gleichverteilt modulo 1 ist oder nicht, ist das Weylsche Kriterium, erstmals bewiesen von Hermann Weyl im Jahr 1916. Eine Folge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ist gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi ihx_{n}}=0}$     für alle ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}}$ gilt.

Der Beweis basiert darauf, d​ass die i​n der Definition d​er Gleichverteilung modulo 1 auftretenden Indikatorfunktionen d​urch stetige Funktionen, u​nd diese l​aut dem Approximationssatz v​on Weierstraß d​urch trigonometrische Polynome beliebig g​enau approximiert werden können.

Beispiele

Folgende Folgen s​ind gleichverteilt modulo 1:

• ${\displaystyle (n\alpha )_{n\geq 1}}$    genau dann, wenn ${\displaystyle \alpha }$ irrational ist.

• ${\displaystyle (n^{\sigma }\log ^{\tau }n)_{n\geq 1}}$    für ${\displaystyle 0<\sigma <1,~\tau \in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle (p(n))_{n\geq 1}}$    wobei ${\displaystyle p(x)}$ ein nichtkonstantes Polynom bezeichnet, das mindestens einen irrationalen Koeffizienten besitzt.

• ${\displaystyle (2^{n}\alpha )_{n\geq 1}}$   genau dann, wenn ${\displaystyle \alpha }$ eine normale Zahl zur Basis 2 ist.

Da die Folge ${\displaystyle (n\alpha )_{n\geq 1}}$ für irrationales ${\displaystyle \alpha }$ gleichverteilt modulo 1 ist, müssen in jedem Intervall ${\displaystyle [a,b)}$ laut Definition asymptotisch etwa ${\displaystyle N(b-a)}$ Elemente der Folge liegen. Insbesondere muss daher jedes Intervall unendlich viele Elemente der Folge enthalten: die Folge ${\displaystyle n\alpha }$ ist daher dicht im Intervall ${\displaystyle [0,1)}$. Das ist der sogenannte Approximationssatz von Kronecker, wodurch ein Zusammenhang zwischen Gleichverteilung modulo 1 und diophantischer Approximation (siehe Dirichletscher Approximationssatz) angedeutet wird.

Literatur

• Edmund Hlawka: Theorie der Gleichverteilung. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1979. ISBN 3-411-01565-9
• Lauwerens Kuipers und Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-45019-8