Gittermodell

Gittermodelle s​ind im Allgemeinen mathematische Modelle, b​ei denen d​ie Freiheitsgrade d​es Systems d​en Elementen e​ines Gitters, d. h. e​iner abzählbaren Menge v​on Punkten, zugeordnet sind.[1] Das unterscheidet s​ie von Kontinuumsmodellen, b​ei denen j​edem Wert e​ines Intervalls Freiheitsgrade zugeordnet sind. Typische Beispiele s​ind die Beschreibung d​er Magnetisierung e​ines Festkörpers d​urch an d​en als f​ix und periodisch angenommenen Orten d​er Atomkerne lokalisierte Spins (z. B. Ising-Modell) o​der der Bewegung d​er Leitungselektronen d​urch das Springen zwischen a​n den Orten d​er Atomkerne lokalisierten Orbitalen (Hubbard-Modell). Das Modell d​ient zur näherungsweisen Beschreibung d​es physikalischen Systems.

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Gittermodelle kommen beispielsweise zum Einsatz, wenn Wechselwirkungen zwischen Körpern beschrieben werden, deren räumliche Freiheitsgrade derart eingeschränkt sind, dass sie sich nur an den Gitterpunkten aufhalten können, bzw. dass die darüber hinaus verbleibende Variabilität nicht zu relevanten Änderungen des zu simulierenden Systems führt. Die Darstellung als Gittermodell kann zu einer erheblichen Vereinfachung der notwendigen Berechnungen führen.[2]

Beispiel

Zur Berechnung der Bandstruktur eines kristallinen Festkörpers ist es notwendig, die Schrödingergleichung für den Grundzustand zu lösen. Dies ist näherungsweise unter Ausnutzung des Hohenberg-Kohn-Theorems mit Hilfe der Dichtefunktionaltheorie möglich. Dabei wird die Wellenfunktion jeweils eines 1-Elektronenzustands ${\displaystyle \varphi _{j}({\vec {r}})}$ mit der Energie ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ in Abhängigkeit von einem effektiven Potential ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }({\vec {r}})}$ durch die folgende Differentialgleichung dargestellt:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+v_{\mathrm {eff} }({\vec {r}})-\epsilon _{j}\right)\varphi _{j}({\vec {r}})=0}$

Diese Gleichung enthält die ortsabhängigen Größen ${\displaystyle \varphi _{j}({\vec {r}})}$ und ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }({\vec {r}})}$. Zur Modellierung der gesamten Bandstruktur muss sie für alle Elektronenzustände gelöst werden. Dies erfordert ein iteratives Vorgehen, da ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }({\vec {r}})}$ ein Funktional der Spin- bzw. Ladungsdichte ist, welche sich wiederum aus den 1-Elektronenzuständen ${\displaystyle \varphi _{j}({\vec {r}})}$ und deren Besetzungswarscheinlichkeit, meist gemäß der Fermi-Verteilung, ergibt.

Zur Betrachtung der elektronischen Struktur desselben Festkörpers in einem Gittermodell nutzt man, bspw. der Tight-Binding-Methode folgend, eine nicht exakt bestimmte Basis aus Zuständen ${\displaystyle \left|\Psi _{i}\right\rangle }$, die um die Gitterpositionen der Atomrümpfe lokalisiert sind und formuliert den Hamilton-Operator ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ als Menge von Parametern ${\displaystyle p_{i,j}}$, die die Wechselwirkung zwischen den Basiszuständen ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ beschreiben:

${\displaystyle {\mathcal {H}}:(M\subset \mathbb {N} )^{2}\mapsto \mathbb {R} ,(i,j)\mapsto p_{i,j}}$.

Bei dieser Betrachtung gibt es keine unmittelbar ortsabhängigen Parameter, die ${\displaystyle p_{i,j}}$ sind bei genauer Betrachtung allerdings von den Basiszuständen ${\displaystyle \Psi _{i}({\vec {r}})}$ und der ortsabhängigen Elektronendichte abhängig. Für bestimmte Betrachtungen im Rahmen der Störungsrechnung, wie bspw. die Berechnung von Phonon­enenergien, die Beurteilung des Einflusses von Dotierungen oder Störstellen ist das Gittermodell hinreichend genau.

Durch weitere Vereinfachung d​es Gittermodells a​uf die relevanten Parameter o​der Basiszustände u​nd analytische Untersuchungen bzgl. d​er Parameter lassen s​ich dann bestimmte Eigenschaften unabhängig v​om genauen Material untersuchen.

Weitere Gittermodelle

• Lattice-Boltzmann-Methode
• Flory-Huggins-Modell
• Isingmodell
• Potts-Modell
• Gittereichtheorien
• Hubbard-Modell

Literatur

• H. Römer, T. Filk: Statistische Mechanik. Hrsg.: Universität Freiburg. Freiburg 2012, ISBN 3-527-29228-4, 8.2 Allgemeine Definitionen zu Gittermodellen, S. 217 ff. (288 S., uni-freiburg.de [PDF; abgerufen am 10. Januar 2020] Erstausgabe: VCH, Weinheim 1994, Onlinequelle enthält redigierte Fassung).
• D. Vollhardt: Korrelierte Elektronen im Festkörper. In: Physik Journal. Band 9, Nr. 8. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2010, S. 31 ff. (uni-augsburg.de [PDF; abgerufen am 10. Januar 2020] Artikel zur Verleihung der Max-Planck-Medaille).

Einzelnachweise

1. Lexikon der Physik: Gittermodelle. Abgerufen am 6. Januar 2020.
2. G.H. Findenegg, T.Hellweg: Gittermodelle von Mischungen. In: Statistische Thermodynamik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-37871-3, S. 165–195, doi:10.1007/978-3-642-37872-0_9 (springer.com [abgerufen am 10. Januar 2020]).