Gewicht (Funktionalanalysis)

Gewichte werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis untersucht. Es handelt s​ich um e​ine Verallgemeinerung e​ines Zustandes a​uf einer C*-Algebra. Insbesondere i​n der Theorie d​er Von-Neumann-Algebren k​ann die Tomita-Takesaki-Theorie mittels gewisser Gewichte über d​en Fall d​er σ-endlichen Von-Neumann-Algebren hinaus ausgedehnt werden.

Definition

Es sei ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, ${\displaystyle A^{+}}$ der positive Kegel, das heißt die Menge aller Elemente der Form ${\displaystyle a^{*}a,\,a\in A}$ . Ein Gewicht auf ${\displaystyle A}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \omega :A^{+}\rightarrow [0,\infty ]}$ mit

• ${\displaystyle \omega (a+b)=\omega (a)+\omega (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A^{+}}$
• ${\displaystyle \omega (\lambda a)=\lambda \omega (a)}$ für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ und ${\displaystyle a\in A^{+}}$ .[1]

Dabei werden die üblichen Rechenregeln für ${\displaystyle \infty }$ verwendet, das heißt ${\displaystyle x+\infty =\infty +x=\infty }$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ , ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \cdot x=\infty }$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0}$ . Zu einem Gewicht ${\displaystyle \omega }$ definiert man[2]

${\displaystyle A_{+}^{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a)<\infty \}}$

${\displaystyle A^{\omega }}$ = lineare Hülle von ${\displaystyle A_{+}^{\omega }}$

${\displaystyle L_{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a^{*}a)=0\}}$

${\displaystyle A_{2}^{\omega }:=\{a\in A|\,\omega (a^{*}a)<\infty \}}$

Dann sind ${\displaystyle A_{2}^{\omega }}$ und ${\displaystyle L_{\omega }}$ Linksideale und ${\displaystyle A^{\omega }}$ ist eine Unter-C*-Algebra in ${\displaystyle A}$ .

Gewichte mit zusätzlichen Eigenschaften

Für Gewichte werden folgende Eigenschaften betrachtet[3]

• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ heißt dicht-definiert, falls ${\displaystyle A_{+}^{\omega }\subset A^{+}}$ bzgl. der Normtopologie dicht ist.
• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ auf einer Von-Neumann-Algebra heißt semi-endlich, falls ${\displaystyle A_{+}^{\omega }\subset A^{+}}$ bzgl. der schwachen Operatortopologie dicht ist.
• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ heißt treu, falls ${\displaystyle L_{\omega }=\{0\}}$ ist.
• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ heißt von unten halbstetig, falls ${\displaystyle \{a\in A^{+}|\,\omega (a)\leq \alpha \}}$ für jedes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ abgeschlossen ist.
• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ auf einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ein monoton wachsendes Netz in ${\displaystyle A^{+}}$ mit Supremum ${\displaystyle a\in A^{+}}$ , so gilt ${\displaystyle \textstyle \sup _{i\in I}\omega (a_{i})=\omega (a)}$ .
• Ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ heißt Spurgewicht, falls zusätzlich ${\displaystyle \omega (uau^{*})=\omega (a)}$ für alle unitären Elemente ${\displaystyle u\in A}$ .

Beispiele

Beschränkte Gewichte

Ein Funktional ${\displaystyle f}$ auf einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt positiv, falls ${\displaystyle f(a^{*}a)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ . Dann ist die Einschränkung ${\displaystyle f|_{A^{+}}}$ offenbar ein Gewicht mit der Besonderheit, dass das Bild in ${\displaystyle [0,\infty )}$ liegt. Ist umgekehrt ${\displaystyle \omega }$ ein von 0 verschiedenes Gewicht mit Bild in ${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$ , das heißt mit ${\displaystyle A_{+}^{\omega }=A^{+}}$ , so gibt es ein positives Funktional ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle \omega =f|_{A^{+}}}$

Summen von Funktionalen

Ist ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ eine Familie positiver Funktionale auf ${\displaystyle A}$ , so ist durch

${\displaystyle \omega (a):=\sum _{i\in I}f_{i}(a),\quad a\in A^{+}}$

ein Gewicht aus ${\displaystyle A}$ erklärt.

Ist zum Beispiel ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}}$ einer Orthonormalbasis eines Hilbertraums ${\displaystyle H}$ , so ist die Summe der zugehörigen Vektorzustände ein Gewicht auf ${\displaystyle L(H)}$ , der Von-Neumann-Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf ${\displaystyle H}$ . Durch

${\displaystyle \omega (a):=\sum _{i\in I}\langle a\xi _{i},\xi _{i}\rangle ,\quad a\in A^{+}}$ .

ist e​in normales Spurgewicht definiert u​nd man k​ann zeigen, d​ass dieses n​icht von d​er Auswahl d​er Orthonormalbasis abhängt. Es ist

${\displaystyle L(H)_{+}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{1}(H)^{+}}$ die Menge der positiven Elemente der Spurklasse,

${\displaystyle L_{\omega }:=\{0\}}$ , das heißt ${\displaystyle \omega }$ ist treu,

${\displaystyle L(H)_{2}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{2}(H)}$ die H*-Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Maße

Es sei ${\displaystyle \mu }$ ein positives Maß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle A=C_{0}(X)}$ die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ , die im Unendlichen verschwinden. Dann ist die Abbildung

${\displaystyle \omega :C_{0}(X)^{+}\rightarrow [0,\infty ],\quad f\mapsto \int _{X}f\mathrm {d} \mu }$

ein Gewicht. Beschränkte Maße führen z​u beschränkten Gewichten, d​as heißt z​u positiven linearen Funktionalen.

Anwendungen und Eigenschaften

Normalität

Wie bei den normalen Zuständen gibt es auch für Gewichte verschiedene Charakterisierungen der Normalität. Für ein Gewicht ${\displaystyle \omega }$ auf einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ sind äquivalent[4]

• ${\displaystyle \omega }$ ist normal, das heißt für monotone Netze ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}\to a\in A^{+}}$ gilt ${\displaystyle \omega (a_{i})\to \omega (a)}$ .
• ${\displaystyle \omega }$ ist additiv, das heißt für jede Familie ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ in ${\displaystyle A^{+}}$ mit ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}a_{i}=a\in A^{+}}$ gilt ${\displaystyle \textstyle \omega (\sum _{i\in I}a_{i})=\sum _{i\in I}\omega (a_{i})}$ .
• Ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ein ultraschwach konvergentes Netz mit Limes ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A^{+}}$ , so ist ${\displaystyle \omega (a)\leq \textstyle \limsup _{i\in I}\omega (a_{i})}$ .
• Es gibt eine Familie ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}}$ positiver, normaler Funktionale mit ${\displaystyle \textstyle \omega (a)=\sup _{i\in I}\varphi _{i}(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A^{+}}$ .
• Es gibt eine Familie ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}}$ positiver, normaler Funktionale mit ${\displaystyle \textstyle \omega (a)=\sum _{i\in I}\varphi _{i}(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A^{+}}$ .

GNS-Konstruktion

Die für Zustände bekannte GNS-Konstruktion kann man im Wesentlichen auch für Gewichte ${\displaystyle \omega }$ auf einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ durchführen.[5] Durch die Formel

${\displaystyle \langle a+L_{\omega },b+L_{\omega }\rangle :=\omega (b^{*}a),\quad a,b\in A_{2}^{\omega }}$

wird ein Skalarprodukt auf ${\displaystyle A_{2}^{\omega }/L_{\omega }}$ definiert, die Vervollständigung ist ein Hilbertraum ${\displaystyle H_{\omega }}$ . Die durch

${\displaystyle b+L_{\omega }\mapsto ab+L_{\omega },\quad a\in A,b\in A_{2}^{\omega }}$

definierten Operatoren auf ${\displaystyle A_{2}^{\omega }/L_{\omega }}$ setzen sich zu stetigen, linearen Operatoren ${\displaystyle \pi _{\omega }(a)}$ auf ${\displaystyle H_{\omega }}$ fort, so dass

${\displaystyle \pi _{\omega }:A\rightarrow L(H_{\omega })}$

eine Hilbertraum-Darstellung definiert. Ist ${\displaystyle \omega }$ treu und semi-endlich, so ist ${\displaystyle \pi _{\omega }}$ treu. Ist ${\displaystyle \omega }$ ein normales Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra, so ist ${\displaystyle \pi _{\omega }(A)}$ ebenfalls eine Von-Neumann-Algebra und die Darstellung ${\displaystyle \pi _{\omega }}$ ist normal.

Tomita-Takesaki-Theorie

Auf e​iner Von-Neumann-Algebra g​ibt es s​tets treue, normale u​nd semi-endliche Gewichte. Auf d​em Bild d​er zugehörigen GNS-Darstellung können gewisse Automorphismen definiert werden, d​ie zur Tomita-Takesaki-Theorie führen.[6]

Einzelnachweise

1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.5.1
2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Definition 5.1.1
3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 5.1: Weights
4. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.7.11
5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 7.5.3
6. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, A further extension of modular theory, ab Seite 639