H*-Algebra

Eine H*-Algebra ist eine mathematische Struktur, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Es handelt sich um eine involutive Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist, zusammen mit einer Bedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft. Dabei erhält man eine zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie.

Definition der H*-Algebra

Eine involutive ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Banachalgebra ${\displaystyle A}$ heißt H*-Algebra, wenn folgendes gilt:

• Es gibt ein Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ auf ${\displaystyle A}$ , so dass ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in A}$
• Für alle ${\displaystyle a,x,y\in A}$ gilt: ${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,a^{*}y\rangle }$ und ${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,ya^{*}\rangle }$ .

Dabei wird die Involution auf ${\displaystyle A}$ mit * bezeichnet. Die erste Bedingung besagt gerade, dass die Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist. Jedes ${\displaystyle a\in A}$ definiert via Linksmultiplikation einen linearen Operator ${\displaystyle L_{a}:A\rightarrow A,\,x\mapsto ax}$ und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator ${\displaystyle R_{a}:A\rightarrow A,\,x\mapsto xa}$ . Die zweite Bedingung sagt dann, dass ${\displaystyle L_{a*}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a*}}$ ) die Hilbertraum-Adjungierte zu ${\displaystyle L_{a}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a}}$ ) ist, in Formeln ${\displaystyle L_{a^{*}}\,=\,(L_{a})^{*}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a^{*}}\,=\,(R_{a})^{*}}$ ), wobei der * auf der rechten Seite für die Hilbertraum-Adjunktion, das heißt für die Involution der C*-Algebra ${\displaystyle B(A)}$ der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum ${\displaystyle A}$ , steht. Auf diese Weise hängt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen.

Beispiele

• Die Hilbert-Schmidt-Klasse ${\displaystyle A={\mathcal {S}}(H)}$ über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist eine H*-Algebra, wobei das Skalarprodukt durch ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Spur} (y^{*}x)}$ gegeben ist.
• Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Gruppe und ${\displaystyle A}$ der Hilbertraum L²(G). Mit der Faltung als Multiplikation und der durch ${\displaystyle f^{*}(s):={\overline {f(s^{-1})}}}$ definierten Involution wird ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra.
• Sei ${\displaystyle J}$ eine beliebige, nicht-leere Menge, ${\displaystyle A:=\{a:J^{2}\rightarrow \mathbb {C} ;\,\sum _{i,j\in J}|a(i,j)|^{2}<\infty \}}$ und ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ eine reelle Zahl. Für ${\displaystyle a,b\in A}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ definiere

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\lambda a)(i,j)&:=&\lambda a(i,j)\\(a+b)(i,j)&:=&a(i,j)+b(i,j)\\(ab)(i,j)&:=&\sum _{k\in J}a(i,k)b(k,j)\\(a^{*})(i,j)&:=&{\overline {a(j,i)}}\\\langle a,b\rangle &:=&\alpha \sum _{i,j\in J}a(i,j){\overline {b(i,j)}}\\\|a\|&:=&\langle a,a\rangle ^{1/2}\end{array}}}$ .

Mit diesen Definitionen wird ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra, zur sogenannten vollen Matrixalgebra. Im Falle ${\displaystyle \alpha =1}$ ist die volle Matrixalgebra isometrisch isomorph zur Hilbert-Schmidt-Klasse ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\ell ^{2}(J))}$ .

• Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhält man wie folgt. Für Funktionen ${\displaystyle f,g\in A:=L^{2}([0,1]\times [0,1])}$ definiere

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(fg)(s,t)&:=&\int _{0}^{1}f(s,r)g(r,t){\mathrm {d} }r\\(f^{*})(s,t)&:=&{\overline {f(t,s)}}\end{array}}}$ .

Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra.

• Der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist mit der komponentenweise erklärten Multiplikation und der durch die komponentenweise komplexe Konjugation definierten Involution eine kommutative H*-Algebra.

Strukturtheorie

Die z​um Satz v​on Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie d​er H*-Algebren w​urde 1945 v​on Warren Ambrose aufgedeckt.

1. Struktursatz

Eine H*-Algebra ${\displaystyle A}$ zerfällt in eine orthogonale Summe ${\displaystyle A={\overline {A^{2}}}\oplus (A^{2})^{\perp }}$ . Dabei ist ${\displaystyle (A^{2})^{\perp }=\{x\in A;\,xA=\{0\}\}=\{x\in A;\,Ax=\{0\}\}}$ das Jacobson-Radikal von ${\displaystyle A}$ , und ${\displaystyle {\overline {A^{2}}}}$ , der Abschluss aller endlichen Summen von Produkten zweier Elemente aus ${\displaystyle A}$ , ist eine halbeinfache H*-Algebra, das heißt ihr Jacobson-Radikal ist ${\displaystyle \{0\}}$ .

Das Produkt zweier Elemente d​es Radikals i​st 0. Daher i​st nur n​och die Struktur halbeinfacher H*-Algebren z​u untersuchen.

2. Struktursatz

Eine halbeinfache H*-Algebra zerfällt i​n die orthogonale Summe d​er minimalen, abgeschlossenen, zweiseitigen Ideale u​nd damit i​n eine direkte Summe einfacher H*-Algebren.

Dabei heißt e​ine H*-Algebra einfach, w​enn sie k​eine nicht-trivialen, zweiseitigen, abgeschlossenen Ideale hat. Damit i​st nur n​och die Struktur einfacher H*-Algebren z​u untersuchen.

3. Struktursatz

Eine einfache H*-Algebra i​st isometrisch isomorph z​u einer vollen Matrix-Algebra.

Damit i​st die Struktur d​er H*-Algebren aufgedeckt: Eine H*-Algebra i​st isometrisch isomorph z​u einer orthogonalen Summe a​us einem Hilbertraum m​it der Nullmultiplikation u​nd vollen Matrixalgebren. Der Hilbertraum m​it der Nullmultiplikation i​st das Jacobson-Radikal. Die einzelnen Summanden d​er direkten Summe können d​er Nullraum sein, s​ie werden d​ann weggelassen.

Siehe auch

• Hilbertalgebra

Quellen

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
• Warren Ambrose: Structure Theorems for a special class of Banach-Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), Seiten 364–386