Galois-Darstellung

Eine Galois-Darstellung i​st eine Darstellung e​iner Galoisgruppe a​uf einem Vektorraum o​der allgemeiner e​inem Modul über e​inem kommutativen Ring. Häufig fordert m​an Stetigkeit bezüglich d​er Krulltopologie d​er Galoisgruppe u​nd einer Topologie a​uf dem Koeffizientenring.

Motivation

Eines der fundamentalen Objekte der Zahlentheorie sind algebraische Zahlkörper. Erkenntnisse über Zahlkörper haben unmittelbare Konsequenzen für die Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen. Eine wichtige Invariante eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist seine absolute Galoisgruppe ${\displaystyle G_{K}}$, das ist die Gruppe der ${\displaystyle K}$-linearen Körperautomorphismen eines fixierten algebraischen Abschlusses ${\displaystyle {\overline {K}}}$ von ${\displaystyle K}$. Ihre Struktur ist so reichhaltig, dass es sich schwierig gestaltet, sie mit rein gruppentheoretischen Methoden zu untersuchen. Man untersucht in speziellen Situationen Darstellungen von ${\displaystyle G_{K}}$, um somit indirekt etwas über ${\displaystyle G_{K}}$ und damit letztlich über ${\displaystyle K}$ zu erfahren.

Artin-Darstellungen

Sei ${\displaystyle K}$ ein Zahlkörper. Eine Artin-Darstellung von ${\displaystyle G_{K}}$ ist eine stetige Darstellung von ${\displaystyle G_{K}}$ auf einem endlich-dimensionalen komplexen Vektorraum. Emil Artin formulierte mithilfe dieser Darstellungen das Artinsche Reziprozitätsgesetz. Die bis heute unbewiesene Artin-Vermutung besagt, dass die Artinsche L-Funktion einer nicht trivialen irreduziblen Artin-Darstellung eine eindeutige holomorphe Fortsetzung auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ hat.

Da Artin-Darstellungen endliches Bild haben, i​st die Kategorie d​er Artin-Darstellungen e​iner gegebenen proendlichen Gruppe e​ine halbeinfache Tannaka-Kategorie.

l-adische Darstellungen

Sei ${\displaystyle G}$ eine proendliche Gruppe und ${\displaystyle E}$ ein ${\displaystyle \ell }$-adischer lokaler Körper, das heißt eine endliche Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ mit der ${\displaystyle \ell }$-adischen Topologie. Eine ${\displaystyle \ell }$-adische Darstellung von ${\displaystyle G}$ über ${\displaystyle E}$ ist ein endlich-dimensionaler ${\displaystyle E}$-Vektorraum zusammen mit einem stetigen Homomorphismus ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$. Man spricht von einer ${\displaystyle \ell }$-adischen Galois-Darstellung, wenn ${\displaystyle G}$ eine Galoisgruppe ist.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$ der Ganzheitsring von ${\displaystyle E}$. Jede ${\displaystyle \ell }$-adische Darstellung stabilisiert einen freien ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$-Untermodul von ${\displaystyle V}$, der ${\displaystyle V}$ als ${\displaystyle E}$-Vektorraum erzeugt. So kann eine ${\displaystyle \ell }$-adische Darstellung auch auf einem freien ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$-Untermodul endlichen Ranges definiert werden.

Manchmal wird als Koeffizientenkörper ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }}$ mit der Vereinigungstopologie endlicher Erweiterungen von ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ genommen. Diese Definition ist im Wesentlichen äquivalent, da jede solche Darstellung einer proendlichen Gruppe über einer endlichen Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ definiert ist.

Beispiele für ${\displaystyle \ell }$-adische Darstellungen sind der ${\displaystyle \ell }$-adische zyklotomische Charakter oder der ${\displaystyle \ell }$-adische Tate-Modul einer abelschen Varietät.

Mod-l-Darstellungen

Eine mod-${\displaystyle \ell }$-Darstellung einer proendlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem endlichen Körper der Charakteristik ${\displaystyle \ell }$ zusammen mit einem stetigen Homomorphismus ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$.

Mod-${\displaystyle \ell }$-Darstellungen entstehen durch Reduktion modulo ${\displaystyle \ell }$ aus ${\displaystyle \ell }$-adischen Darstellungen. Die Reduktion einer ${\displaystyle \ell }$-adischen Darstellung über einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Darstellungen der Weil-Gruppe

Ist ${\displaystyle K}$ ein globaler oder lokaler Körper, so ist zu der entsprechenden Klassenformation eine Weil-Gruppe ${\displaystyle W_{K}}$ definiert. Durch Verkettung mit dem kanonischen Homomorphismus ${\displaystyle \varphi :W_{K}\to G_{K}}$ wird jede stetige Darstellung von ${\displaystyle G_{K}}$ zu einer stetigen Darstellung von ${\displaystyle W_{K}}$. Die lokal proendliche Gruppe ${\displaystyle W_{K}}$ hat echt mehr stetige Darstellungen als ${\displaystyle G_{K}}$. So ist beispielsweise durch den Betrag ein Charakter ${\displaystyle K^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ mit unendlichem Bild gegeben. Durch den Klassenkörperisomorphismus ${\displaystyle r_{K}:K^{\times }{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\mathrm {ab} }}$ definiert das einen Charakter von ${\displaystyle W_{K}}$ mit unendlichem Bild, die folglich nicht von einem Charakter von ${\displaystyle G_{K}}$ kommt.

p-adische Hodge-Theorie

Ist ${\displaystyle K}$ ein ${\displaystyle p}$-adischer lokaler Körper, so beschäftigt sich die p-adische Hodge-Theorie mit der Klassifikation ${\displaystyle p}$-adischer Darstellungen von ${\displaystyle G_{K}}$.

Galois-Kohomologie

→ Hauptartikel: Galois-Kohomologie

Man k​ann Gruppenkohomologie a​uch für proendliche Gruppen definieren. Für Galoisgruppen spricht m​an dann v​on Galois-Kohomologie.

Literatur

• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Jürgen Neukirch: Cohomology of number fields. Springer, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 2000, 2. Auflage, 2008, ISBN 978-3-540-37888-4
• Jean-Pierre Serre: Galois Cohomology. Springer, Monographs in Mathematics, 1997, ISBN 978-3-642-59141-9
• Joseph Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer, New York, 2009, 2. Auflage, ISBN 978-0-387-09493-9
• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1999, ISBN 978-3-662-03983-0