Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung , so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Definition für Galoiserweiterungen

Es sei eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung auch die normale Hülle von enthält.

Es g​ibt verschiedene Möglichkeiten, d​ie Krulltopologie z​u definieren:

1. Man definiert d​ie Umgebungsbasis d​es neutralen Elements a​ls die Menge

der Galoisgruppen für über endliche Teilerweiterungen .[1]

2. Es g​ibt eine kanonische Bijektion

wobei alle über endlichen Teilerweiterungen durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass eine proendliche Gruppe ist.

Hauptsatz der Galoistheorie

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen und abgeschlossenen Untergruppen von : Einer Erweiterung entspricht die Untergruppe

einer Untergruppe die Erweiterung

Eine Teilerweiterung ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn ein Normalteiler in ist; die Galoisgruppe ist kanonisch isomorph zum Quotienten .

Darstellungen

Es sei ein Körper und ein separabler Abschluss von . Weiter sei ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von auf genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten für eine endliche Erweiterung faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen für endliche Erweiterungen .

Verallgemeinerung: Nicht algebraische Erweiterungen

Es sei eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe der Körperautomorphismen von , die elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

für endliche Teilmengen eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.

Einzelnachweise

  1. Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, 2007, ISBN 978-3-938616-89-5, §15.2 (Online [abgerufen am 26. Januar 2017]).
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