Gütefaktor

Der Gütefaktor, a​uch Güte, Kreisgüte, Filtergüte, Schwingkreisgüte, Resonanzschärfe o​der Q-Faktor genannt, i​st in d​er Technik e​in Maß für d​ie Dämpfung bzw. d​en Energieverlust e​ines zu Schwingungen fähigen Systems (z. B. e​ines Schwingkreises).[1] Eine hohe Güte e​ines Systems besagt, d​ass das System schwach gedämpft ist.

In e​iner zweiten Bedeutung i​st der Gütefaktor e​in Kennzeichen für d​en Energieverlust e​ines zweipoligen elektrischen Bauelementes o​der Netzwerks.[2]

Der Kehrwert d​es Gütefaktors heißt i​n beiden Bedeutungen Verlustfaktor.[3]

Elektrischer Schwingkreis

→ Hauptartikel: Schwingkreis

Definition

Der Gütefaktor ${\displaystyle Q}$ eines Resonanzkreises bei einer gegebenen Frequenz wird definiert als

${\displaystyle Q=2\pi \ {\frac {W}{V}}}$

mit

${\displaystyle W}$ der gespeicherten Energie zu Beginn einer Schwingungsperiode

${\displaystyle V}$ der Energie, die innerhalb dieser Periode in thermische Energie übergeht.[1]

Ein Gütefaktor von 0,5, oder ein Dämpfungsgrad von 1 oder ein Verlustfaktor von 2, entspricht dem aperiodischen Grenzfall, bei dem es gerade keine Schwingung mehr gibt. Eine hohe Güte erfordert also ein ${\displaystyle Q}$ deutlich über 0,5.

Reihenschaltung

In einem Reihenschwingkreis werden ein elektrischer Widerstand ${\displaystyle R}$, eine Spule der Induktivität ${\displaystyle L}$ und ein Kondensator der Kapazität ${\displaystyle C}$ von demselben sinusförmigen Strom ${\displaystyle i}$ mit dem Effektivwert ${\displaystyle I}$ und der Amplitude ${\displaystyle {\hat {\imath }}={\sqrt {2}}\;I}$ durchflossen. Die Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises und des realen Reihenschwingkreises beträgt

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}\ {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

mit der Resonanzkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$. Die Periodendauer beträgt ${\displaystyle 1/f_{0}}$. Eingesetzt in die Definition von ${\displaystyle Q}$ ergibt sich

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}L\;{\hat {\imath }}^{2}}$

${\displaystyle V=I^{2}\;R\cdot {\frac {1}{f_{0}}}}$

${\displaystyle Q=2\pi \ {\frac {L\,f_{0}}{R}}={\frac {1}{R}}\;{\sqrt {\,{\frac {L}{C}}\,}}}$

Die Differenzialgleichung d​es Reihenschwingkreises lautet (siehe Hauptartikel)

${\displaystyle LC\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}i}{\mathrm {d} t^{2}}}+RC\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+i=0\qquad {\text{oder allgemein}}\qquad {\frac {\mathrm {d} ^{2}i}{\mathrm {d} t^{2}}}+2D\omega _{0}\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\cdot i=0}$

mit dem Dämpfungsgrad ${\displaystyle D}$. Nach Division durch ${\displaystyle LC}$ führt ein Koeffizientenvergleich auf

${\displaystyle {\frac {R}{L}}=2D\omega _{0}\quad$ ;\qquad {\frac {1}{LC}}=\omega _{0}^{2}} ,

und m​an kommt a​uf eine Beziehung zwischen Dämpfungsgrad u​nd Gütefaktor

${\displaystyle 2D={\frac {R}{L\omega _{0}}}={\frac {1}{Q}}}$.

Parallelschaltung

Parallelschwingkreis

In Analogie dazu liegt in einem Parallelschwingkreis an ${\displaystyle R,L,C}$ dieselbe sinusförmige Spannung ${\displaystyle u}$ an (Scheitelwert ${\displaystyle {\hat {u}}}$, Effektivwert ${\displaystyle U={\hat {u}}/{\sqrt {2}}}$). Beim realen Parallelschwingkreis liegt die Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$ geringfügig niedriger als ${\displaystyle f_{0}}$. Für die Berechnung der thermischen Energie, die in der Periodendauer abgegeben wird, kann der Unterschied unbeachtet bleiben.[4]

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}C\;{\hat {u}}^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {U^{2}}{R}}\cdot {\frac {1}{f_{0}}}}$

${\displaystyle Q=2\pi \ C\,R\,f_{0}=R\;{\sqrt {\,{\frac {C}{L}}\,}}}$

Bandbreite

Resonanzkurve bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit ${\displaystyle f_{c}}$ bezeichnet ist

Der Gütefaktor e​ines Resonanzkreises i​st ein Maß für d​ie Schärfe d​er Resonanz.[1] Diese w​ird durch d​ie 3-dB-Bandbreite B ausgedrückt:[4]

${\displaystyle B=f_{2}-f_{1}={\frac {f_{0}}{Q}}}$

mit d​em daraus gebildeten Gütefaktor:

${\displaystyle Q={\frac {f_{0}}{B}}}$

Die obere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{2}}$ und die untere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{1}}$ sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung ${\displaystyle {\hat {u}}}$ bzw. der Strom ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$ auf den ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707}$-fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus

${\displaystyle f_{1}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}-R}{4\pi L}}}$   und   ${\displaystyle f_{2}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}+R}{4\pi L}}}$.

Sie s​ind mit d​er Resonanzfrequenz d​es idealen Schwingkreises verbunden durch

${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{1}\,f_{2}}}}$.

Mechanischer Schwingkreis

In d​er Mechanik g​eht man b​ei einem Federpendel (Masse-Feder-System) a​us von d​en Differenzialgleichungen

${\displaystyle m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\qquad {\text{oder}}\qquad {\ddot {x}}+2D\omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$.

mit der Auslenkung ${\displaystyle x}$ aus der Ruhelage, der Masse ${\displaystyle m}$, der vorzugsweise durch Reibung bestimmten Dämpfungskonstanten ${\displaystyle d}$, der Federkonstanten ${\displaystyle k}$, dem Dämpfungsgrad ${\displaystyle D}$ und der Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$ des ungedämpften Systems.

Dieselbe Definition d​es Gütefaktors w​ie beim elektrischen Schwingkreis führt auf[5][6]

${\displaystyle Q=\omega _{d}\;{\frac {m}{d}}\approx {\frac {\sqrt {m\cdot k}}{d}}={\frac {1}{2D}}}$

mit der gegenüber ${\displaystyle \omega _{0}}$ leicht verminderten Eigenkreisfrequenz des schwach gedämpften Systems

${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {d^{2}}{4m^{2}}}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-D^{2}}}}$

Elektrisches Bauelement

Der Gütefaktor ${\displaystyle Q}$ eines linearen abstrahlungsfreien zweipoligen Netzwerkelementes oder Netzwerkes bei sinusförmigen Vorgängen wird definiert als das Verhältnis der Beträge von Blindleistung ${\displaystyle P_{B}}$ und Wirkleistung ${\displaystyle P_{W}}$ oder gleichwertig als das Verhältnis der Beträge von Blindwiderstand ${\displaystyle X}$ und Wirkwiderstand ${\displaystyle R}$.[2]

${\displaystyle Q={\frac {|P_{B}|}{P_{W}}}={\frac {|X|}{R}}}$ .

Der Gütefaktor i​st ein Maß für – gewöhnlich unerwünschte – Verluste, insbesondere i​n einem Kondensator o​der einer Spule.[2] Beispielsweise i​st die Spulengüte

${\displaystyle Q_{L}={\frac {2\pi f\,L}{R}}}$

Diese Gleichung ähnlich der entsprechenden Gleichung beim Reihenschwingkreis, gilt aber für beliebige Frequenz ${\displaystyle f}$ und nicht bei einer (gar nicht vorhandenen) Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$. Eine hohe Spulengüte ist erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird.

Der Gütefaktor i​st bei Netzwerk(element)en zugleich d​er Kotangens d​es Verlustwinkels.[7]

Beispiele

In d​er folgenden Tabelle s​ind einige Größenordnungen v​on Gütefaktoren b​ei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.

System	Gütefaktor Q
Aperiodischer Grenzfall	${\displaystyle 0{,}5}$
Elektrodynamischer Lautsprecher	typ. ${\displaystyle 0{,}2\,\ldots \,1{,}2}$
Elektrischer Schwingkreis	${\displaystyle 10^{2}}$
Pendeluhr	${\displaystyle 10^{4}}$
Schwingungstilger	${\displaystyle 10^{5}}$
Schwingquarz 10 MHz	${\displaystyle (3\,\ldots \,10)\cdot 10^{5}}$
Frequenzstabilisierter Laser	${\displaystyle 10^{9}}$
Supraleitender Hohlraumresonator	${\displaystyle 10^{9}\,\ldots \,10^{11}}$
Cäsium-Atomuhr	${\displaystyle 10^{13}}$
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung	${\displaystyle 10^{15}}$

Literatur

• Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Weblinks

• Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' N in Gütefaktor Q und Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N
• Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite)
• Gütefaktor Q in „Bandbreite in Oktaven“ N - und zurück – Excel

Einzelnachweise

1. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-46
2. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-45
3. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-47
4. Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf. 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69
5. Dieter Meschede (Hrsg.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 21. Auflage. Springer, 2013, S. 150f
6. Alan M. Portis, Hugh D. Young: Physik im Experiment. Vieweg, 1978, S. 34
7. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-48