Fricke-Raum

Der Fricke-Raum (nach Robert Fricke) bezeichnet i​n der Mathematik e​inen Modulraum, dessen Objekte hyperbolische Metriken a​uf einer geschlossenen Fläche sind. Diese Objekte betreffen d​ie Krümmung v​on Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Äquivalent i​st ein Modulraum d​er diskreten, treuen Darstellungen v​on der Fundamentalgruppe d​er Fläche i​n die Isometriegruppe d​er hyperbolischen Ebene.

Der große Riemannsche Abbildungssatz (Uniformisierungssatz) zeigt, dass es in jeder Äquivalenzklasse Riemannscher Flächen vom Geschlecht ${\displaystyle \geq 2}$ eine eindeutige hyperbolische Metrik gibt. Der vergleichbare Teichmüller-Raum behandelt eigentlich den Modulraum Riemannscher Flächen, der Fricke-Raum steht für den Modulraum hyperbolischer Metriken.

Fläche vom Geschlecht 2

Koordinaten

Der Fricke-Raum ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S_{g})}$ einer Fläche ${\displaystyle S_{g}}$ vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ ist ${\displaystyle (6g-6)}$-dimensional und homöomorph zur offenen Einheitskugel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6g-6}}$.

Eine mögliche Parametrisierung durch ${\displaystyle 6g-6}$ reelle Parameter liefern die Fenchel-Nielsen-Koordinaten. Andere Koordinatisierungen ergeben sich aus der Identifizierung mit dem Teichmüller-Raum.

In moderneren Zugängen identifiziert man den Fricke-Raum häufig mit einer Komponente der Charaktervarietät ${\displaystyle X(\pi _{1}S_{g},PSL(2,\mathbb {R} ))}$, nämlich der Komponente, die die Charaktere aller diskreten, treuen Darstellungen enthält. (Jeder hyperbolischen Metrik entspricht jeweils ihre Monodromie-Darstellung.) Als Fricke-Koordinaten bezeichnet man dann die folgenden bereits auf Fricke zurückgehenden Koordinaten.

Fricke-Koordinaten. Sei ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}=\langle \alpha _{1},\beta _{1},\ldots ,\alpha _{g},\beta _{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[\alpha _{i},\beta _{i}\right]\rangle }$ die kanonische Präsentierung der Flächengruppe und ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}S_{g}\to PSL(2,\mathbb {R} )}$ eine diskrete, treue Darstellung. Dann sind für ${\displaystyle i=1,\ldots ,g}$

${\displaystyle \rho (\alpha _{i})=\left({\begin{array}{cc}a_{i}&b_{i}\\c_{i}&d_{i}\end{array}}\right),\rho (\beta _{i})=\left({\begin{array}{cc}a_{i}^{\prime }&b_{i}^{\prime }\\c_{i}^{\prime }&d_{i}^{\prime }\end{array}}\right)}$

Äquivalenzklassen von Matrizen, wobei wir o. B. d. A. ${\displaystyle c_{i}>0,c_{i}^{\prime }>0}$ annehmen können. Die ${\displaystyle 6g-6}$ Parameter des Fricke-Raumes sind dann

${\displaystyle (a_{1},c_{1},d_{1},a_{1}^{\prime },c_{1}^{\prime },d_{1}^{\prime },\ldots ,a_{g-1},c_{g-1},d_{g-1},a_{g-1}^{\prime },c_{g-1}^{\prime },d_{g-1}^{\prime })}$.

Der Uniformisierungssatz identifiziert d​en Teichmüller-Raum m​it dem Fricke-Raum u​nd insbesondere liefern d​ie Fricke-Koordinaten a​uch Koordinaten a​uf dem Teichmüller-Raum. Allerdings erhält m​an auf d​iese Weise n​icht die komplexe Struktur a​uf dem Teichmüller-Raum, d​ie erst v​on Teichmüller explizit koordinatisiert wurde.

Flächen mit Rand

Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

Für Flächen m​it Rand definiert m​an den Fricke-Raum a​ls Modulraum d​er markierten hyperbolischen Metriken m​it geodätischem Rand modulo randerhaltender Isotopien.

Hose

Der Fricke-Raum der Hose ${\displaystyle H=S_{0,3}}$ wird parametrisiert durch die Spuren ${\displaystyle x=Tr(\rho (A)),y=Tr(\rho (B)),z=Tr(\rho (C))}$ der drei Randkurven ${\displaystyle A,B,C}$ für die nach ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ gehobene Monodromiedarstellung ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}H\to PSL(2,\mathbb {R} )}$. (Diese seien so orientiert, dass ${\displaystyle ABC=1\in \pi _{1}H}$.) Mit diesen Koordinaten ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S_{0,3})}$ der Quotient von

${\displaystyle (-\infty ,-2)^{3}\bigcup (-\infty ,-2)\times (2,\infty )^{2}\bigcup (2,\infty )\times (-\infty ,-2)\times (2,\infty )\bigcup (2,\infty )^{2}\times (-\infty ,-2)\subset \mathbb {R} ^{3}}$

(wobei die 4 Zusammenhangskomponenten durch die unterschiedlichen Hebungen der Monodromiedarstellung von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ nach ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ zustande kommen) unter der Wirkung von ${\displaystyle Hom(\pi _{1}H,\pm 1)}$, er kann also mit ${\displaystyle (-\infty ,-2)^{3}}$ identifiziert werden.[1]

Punktierter Torus

Der Fricke-Raum des punktierten Torus ${\displaystyle T=S_{1,1}}$ wird parametrisiert durch die Spuren ${\displaystyle x=Tr(\rho (L)),y=Tr(\rho (M)),z=Tr(\rho (LM))}$, wobei ${\displaystyle L}$ die Longitude und ${\displaystyle M}$ den Meridian des Torus bezeichnet. Mit diesen Koordinaten ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S_{1,1})}$ der Quotient von

${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz\leq 0\right\}\subset \mathbb {R} ^{3}}$

unter der Wirkung von ${\displaystyle Hom(\pi _{1}T,\pm 1)}$, er kann also mit ${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in (2,\infty )^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz\leq 0\right\}}$ identifiziert werden.[2]

Literatur

• Fricke-Klein: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen. Band I: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner, Leipzig 1897; Band II: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1912.
• Imayoshi-Taniguchi: An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese by the authors. Springer-Verlag, Tokyo 1992, ISBN 4-431-70088-9, Kapitel 2.5
• Goldman: Trace coordinates on Fricke spaces of some simple hyperbolic surfaces. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, S. 611–684. In: IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 13, Eur. Math. Soc., Zürich 2009, arxiv:0901.1404v1.

Einzelnachweise

1. Kapitel 4.3 in Goldman, op.cit.
2. Kapitel 4.4 in Goldman, op.cit.