Fortsetzungssatz von Carathéodory

In d​er Mathematik behandelt d​er Satz v​on Carathéodory d​ie Fortsetzbarkeit winkelerhaltender Abbildungen a​uf den Rand i​hres Definitionsbereiches.

Konforme Abbildungen, Riemannscher Abbildungssatz

Eine konforme Abbildung ist per Definition eine Abbildung, die Winkel erhält. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to V}$ zwischen zwei Teilmengen der komplexen Ebene ist genau dann konform, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und die Ableitung nirgends verschwindet.

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass es zu jeder einfach zusammenhängenden, offenen, echten Teilmenge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ einen konformen Homöomorphismus

${\displaystyle f\colon U\to D^{2}}$

auf die Einheitskreisscheibe ${\displaystyle D^{2}=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\|z\|<1\right\}} gibt. Er wurde von Riemann 1851 formuliert, aber erst 1912 von Carathéodory bewiesen. Der Riemannsche Abbildungssatz wird unter anderem für die Geometrisierung von Flächen verwendet.

Der Rand der drei Gebiete (gelb, grün oder violett) ist keine Jordan-Kurve, siehe Seen des Wada.

Der Riemannsche Abbildungssatz i​st unter anderem deshalb bemerkenswert, w​eil einfach zusammenhängende, offene Teilmengen d​er Ebene s​ehr kompliziert s​ein können, z​um Beispiel k​ann ihr Rand e​ine nirgendwo differenzierbare, fraktale Kurve unendlicher Länge o​der auch überhaupt k​eine stetig parametrisierbare Kurve sein.

Im Allgemeinen trifft e​s nicht zu, d​ass sich d​ie Riemann-Abbildung z​u einer stetigen Abbildung

${\displaystyle \partial (U)\to S^{1}}$

des Randes ${\displaystyle \partial (U)}$ auf den Einheitskreis ${\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\|z\|=1\right\}} fortsetzen lässt. Der Satz von Carathéodory besagt aber, dass eine solche Fortsetzung dann existiert, wenn der Rand ${\displaystyle \partial (U)}$ eine Jordan-Kurve, also das Bild einer stetigen, injektiven Abbildung ${\displaystyle S^{1}\to \mathbb {C} }$ ist. Dies schließt nichtdifferenzierbare, fraktale Kurven mit ein, zum Beispiel die Koch-Kurve.

Satz von Carathéodory

Eine von einer Jordan-Kurve berandete, einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der Ebene.

Satz: Es sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der komplexen Ebene, deren Rand ${\displaystyle \Gamma$ :=\partial (U)} eine Jordan-Kurve ist. Dann lässt sich jede konforme Abbildung

${\displaystyle f\colon U\to D^{2}}$

stetig zu einem Homöomorphismus des Abschlusses ${\displaystyle cl(U)=U\cup \partial (U)}$

${\displaystyle {\overline {f}}\colon cl(U)\to {\overline {D}}^{2}}$

auf die abgeschlossene Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {D}}^{2}=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\|z\|\leq 1\right\}} fortsetzen. Insbesondere ist ${\displaystyle {\overline {f}}\mid _{\Gamma }}$ ein Homöomorphismus

${\displaystyle {\overline {f}}\mid _{\Gamma }\colon \Gamma \to S^{1}}$.

Folgerung: Jede konforme Abbildung ${\displaystyle f\colon U_{1}\to U_{2}}$ zwischen zwei von Jordan-Kurven ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$ berandeten einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen der Ebene lässt sich zu einem Homöomorphismus ${\displaystyle \Gamma _{1}\to \Gamma _{2}}$ fortsetzen.

Umkehrung

Die folgenden Aussagen sind äquivalent für ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$[1]:

• Jede konforme Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to D^{2}}$ lässt sich zu einem Homöomorphismus ${\displaystyle {\overline {f}}\colon cl(U)\to {\overline {D}}^{2}}$ fortsetzen.
• Der Rand von ${\displaystyle U}$ ist eine Jordan-Kurve.
• Jeder Randpunkt ${\displaystyle b\in \partial (U)}$ ist einfach, d. h. zu jeder Folge ${\displaystyle b_{n}\in U,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b}$ gibt es eine Kurve ${\displaystyle \gamma \colon \left[0,1\right]\to cl(U)}$ mit ${\displaystyle \gamma (1)=b,\gamma (\left[0,1\right))\in U}$, deren Bild alle ${\displaystyle b_{n},n\in N}$ enthält.

Aus der Äquivalenz folgt: der Rand eines beschränkten, konvexen Gebietes ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ist eine Jordan-Kurve.

Höherdimensionale Verallgemeinerungen

Die stetige Fortsetzbarkeit v​on Abbildungen a​uf den Rand e​iner offenen Menge i​st ein weitverzweigtes Forschungsthema d​er Mathematik, s​iehe zum Beispiel Satz v​on Korevaar-Schoen o​der Cannon-Thurston-Theorie.

Literatur

• Carathéodory, C.: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis. Math. Ann. 73 (1913), no. 2, 305–320.

Weblinks

• Pommerening: Extension of conformal maps to the boundary

Einzelnachweise

1. Novinger, W. P.: An elementary approach to the problem of extending conformal maps to the boundary. Amer. Math. Monthly 82 (1975), 279–282.