Fortsetzung (Mathematik)

Die Fortsetzung e​iner Abbildung i​st ein Begriff a​us der Mathematik, d​er insbesondere i​n der Analysis u​nd der Topologie verwendet wird. Unter e​iner Fortsetzung e​iner Abbildung versteht m​an eine weitere Abbildung, d​ie auf e​iner Teilmenge i​hres Definitionsbereichs m​it der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Von besonderem Interesse i​st es, o​b es Fortsetzungen z​u stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt, d​ie ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind.

Definition

Seien ${\displaystyle X,\,Y}$ und ${\displaystyle A}$ Mengen. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ heißt Fortsetzung der Abbildung ${\displaystyle g\colon A\to Y}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist und ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt.[1]

Stetige Fortsetzung

Definition

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ topologische Räume, ${\displaystyle A\subset X}$ ein Teilraum von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle g\colon A\to Y}$ eine stetige Abbildung. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von ${\displaystyle g}$, falls ${\displaystyle f}$ stetig ist und ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt.[2]

Beispiele

• Die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$, definiert durch ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {x}{x}}+5x}$, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$, welche lautet

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x}}+5x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\,.\end{cases}}}$

Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer stetig behebbaren Definitionslücke.

• Die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$, definiert durch ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}\sin(x)}$, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Denn gemäß der Regel von de L’Hospital gilt ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {1}{x}}\sin(x)=1}$, und damit ist

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(x)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\,\end{cases}}}$

eine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle g}$.

• Die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$, definiert durch ${\displaystyle x\mapsto \sin({\tfrac {1}{x}})}$, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum ${\displaystyle \mathbb {R} }$, da der Grenzwert ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ nicht existiert.
• Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier-Transformation betrachtet. Dies ist eine Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$ auf dem Schwartz-Raum. Da der Schwartz-Raum dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{2}}$ liegt, kann die Fourier-Transformation stetig auf ${\displaystyle L^{2}}$ fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Fortsetzungssatz von Tietze

→ Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz v​on Tietze charakterisiert topologische Räume, i​n denen stetige Funktionen a​uf abgeschlossenen Teilmengen i​mmer stetig fortgesetzt werden können. Es s​ind genau d​ie normalen topologischen Räume, i​n denen d​as immer möglich ist. Der Satz k​ann als Verallgemeinerung d​es Lemmas v​on Urysohn verstanden werden. Eine Folgerung d​es Fortsetzungssatzes v​on Tietze i​st das Fortsetzungslemma.

Lipschitz-stetige Funktionen

Stetige Abbildungen ${\displaystyle U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$, wobei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, können die stärkere Eigenschaft der Lipschitz-Stetigkeit haben. Daher stellt sich die Frage, ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wählen kann, dass die Lipschitz-Stetigkeit erhalten bleibt. Der Satz von Kirszbraun sagt aus, dass dies sogar mit Erhaltung der Lipschitz-Konstanten möglich ist. Das Lemma von McShane dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus.

Periodische Fortsetzung

→ Hauptartikel: Periodische Fortsetzung

Eine andere Möglichkeit e​ine Funktion systematisch fortzusetzen i​st die periodische Fortsetzung. Dabei w​ird eine a​uf einem beschränkten Intervall definierte Funktion s​o fortgesetzt, d​ass sich i​hre Funktionswerte außerhalb d​es Ausgangsintervalls m​it festem Abstand zyklisch wiederholen. Eine solche Funktion w​ird periodisch genannt.

Einschränkung

→ Hauptartikel: Einschränkung

Das z​ur Fortsetzung v​on Funktionen gegenteilige Konzept i​st die Einschränkung d​es Definitionsbereichs e​iner Abbildung.

Siehe auch

• Analytische Fortsetzung
• Fortsetzungssatz von Dugundji

Einzelnachweise

1. Fortsetzung einer Abbildung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1: A bis Eif. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2000, ISBN 3-8274-0303-0.
2. Dušan Repovš, Pavel Vladimirovič Semenov: Continuous selections of multivalued mappings. In: Mathematics and its Applications. Band 455. Kluwer Academic, Dordrecht u. a. 1998, ISBN 0-7923-5277-7, S. 23–24.