Fortsetzungssatz von Dugundji

Der Fortsetzungssatz v​on Dugundji (engl. Dugundji extension theorem o​der Dugundji extension formula) i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er angesiedelt i​st im Übergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie u​nd der Theorie d​er topologischen Vektorräume. Er g​eht auf e​ine wissenschaftliche Publikation d​es US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji a​us dem Jahre 1951 zurück[1][2][3] u​nd ist direkt verknüpft m​it dem Satz v​on Tietze-Urysohn über d​ie Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, v​on dem e​r in gewissem Sinne e​ine Verallgemeinerung[4] darstellt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich wie f​olgt formulieren:[5][6][7]

Gegeben seien ein metrischer Raum ${\displaystyle X}$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum ${\displaystyle L}$.

Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow L}$ eine stetige Fortsetzung auf ${\displaystyle X}$, also eine stetige Abbildung ${\displaystyle F\colon X\rightarrow L}$ mit ${\displaystyle F|_{A}=f}$, welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich ${\displaystyle F(X)}$ von der konvexen Hülle von ${\displaystyle f(A)}$ umfasst wird.

In e​twas abgewandelter, a​ber gleichwertiger Form lässt s​ich der Fortsetzungssatz v​on Dugundji a​uch so darstellen:[8]

Gegeben seien ein metrischer Raum ${\displaystyle X}$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum ${\displaystyle L}$ und darin eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq L}$ . Weiterhin sei ${\displaystyle f\colon A\rightarrow K}$ eine stetige Abbildung.

Dann besitzt ${\displaystyle f}$ eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F\colon X\rightarrow K}$.

Einordnung des Satzes

Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich ${\displaystyle K}$ der zugrundeliegenden stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow K}$ ein aus Intervallen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zusammengesetzter Produktraum, etwa ein ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, ist.[9] Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum ${\displaystyle X}$ zugrundegelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.[10]

Literatur

Originalarbeiten

• James Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, Nr. 3, 1951, ISSN 0030-8730, S. 353–367 (projecteuclid.org MR0044116 [PDF]).

Monografien

• Czesław Bessaga, Aleksander Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology (= Monografie Matematyczne. Band 58). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, ISSN 0077-0507 (MR0478168).
• Karol Borsuk: Theory of Retracts (= Monografie Matematyczne. Band 44). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1967 (MR0216473).
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Inc., Boston, MA 1973.
• Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed Point Theory (= Springer Monographs in Mathematics). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-00173-5 (MR1987179).
• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2 (MR0974296).
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Weblink

• Originalarbeit von Dugundji

Einzelnachweise

1. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 353 ff.
2. Bessaga, Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology. 1975, S. 57 ff.
3. Granas, Dugundji: Fixed Point Theory. 2003, S. 163–164.
4. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
5. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 357.
6. Borsuk: Theory of Retracts. 1967, S. 77–78.
7. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 54, 56
8. Dugundji: Topology. 1973, S. 189.
9. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.
10. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.