Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz v​on Tietze (englisch Tietze(’s) extension theorem[1][2][3]), a​uch als Erweiterungssatz v​on Tietze[4] o​der als Satz v​on Tietze-Urysohn[5] genannt, i​st ein Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie. Er s​etzt normale topologische Räume m​it stetigen Fortsetzungen i​n Beziehung. Veröffentlicht w​urde der Satz i​m Jahr 1915 v​on Heinrich Tietze.

Der Satz i​st eine Verallgemeinerung d​es Urysohnschen Lemmas u​nd kann i​n vielen Fällen angewendet werden, d​a alle metrischen Räume u​nd alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein normaler Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle X}$ definierten, stetigen Funktion

${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion

${\displaystyle F\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$

existiert mit ${\displaystyle F|_{A}=f}$, d. h. ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$. Die Funktion ${\displaystyle F}$ wird als stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.

Dies ist ein reiner Existenzsatz. Bis auf wenige Ausnahmen ist eine solche stetige Fortsetzung nicht eindeutig, d. h., es kann zu gegebener Funktion ${\displaystyle f}$ mehr als eine Funktion ${\displaystyle F}$ mit der gesuchten Eigenschaft geben.

Stärkere Fassung

Der Fortsetzungssatz v​on Tietze lässt s​ich in n​och stärkerer Fassung formulieren:[5]

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann ein normaler Raum, wenn zu jeder beliebigen stetigen Abbildung der Form ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \Pi }$ mit einem abgeschlossenen ${\displaystyle A\subseteq X}$ und einem aus Intervallen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bestehenden Produktraum ${\displaystyle \Pi }$ stets eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F\colon X\rightarrow \Pi }$ existiert.

Für die Anwendungen des Satzes ist insbesondere der Fall ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ bedeutsam.

Beispiel

In metrischen Räumen ${\displaystyle (X,d)}$ kann eine Fortsetzung explizit angegeben werden: Es seien ${\displaystyle A\subset X}$ abgeschlossen und ${\displaystyle f\in C(A)}$ nichtnegativ. Dann ist

${\displaystyle F(x):={\begin{cases}f(x),&x\in A\\\inf _{a\in A}\{f(a)+{\frac {d(x,a)}{d(x,A)}}-1\},&x\in X\setminus A\end{cases}}}$

eine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle X}$.

Siehe auch

• Lemma von Urysohn
• Interpolationssatz von Katětov

Literatur

• Graham J. O Jameson: Topology and normed spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.
• John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand, New York).
• C. Wayne Patty: Foundations of Topology. PWS-Kent Publishing, Boston MA 1993, ISBN 0-534-93264-9.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1975, ISSN 0073-2842.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Heinrich Tietze: Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Heft 145, 1915, S. 9–14. doi:10.1515/crll.1915.145.9. Digitalisat.
• Paul Urysohn: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 94, 1925, S. 262–295. doi:10.1515/crll.1915.145.9. Digitalisat (PDF; 1,98 MB).

Einzelnachweise

1. Kelley: General topology. 1975, S. 176.
2. Patty: Foundations of Topology. 1993, S. 176.
3. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 113.
4. Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 170.
5. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.