Satz von Kirszbraun

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz v​on Kirszbraun o​der Satz v​on Kirszbraun-Valentine) e​in Lehrsatz über d​ie Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, e​r ist n​ach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.

Satz

Sei

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$

eine auf einer Teilmenge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle Lip(f)}$, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

mit derselben Lipschitz-Konstante

${\displaystyle Lip(F)=Lip(f)}$

und mit

${\displaystyle F\mid _{U}=f.}$

Beispiel

Für ${\displaystyle m=1}$ kann man ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ explizit definieren durch

${\displaystyle F(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )}}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen ${\displaystyle U\subset X}$ beliebiger metrischer Räume ${\displaystyle X}$ und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.

Für ${\displaystyle m>1}$ kennt man keine solche geschlossene Formel.

Verallgemeinerungen

Der Satz v​on Kirszbraun g​ilt auch für Hilberträume, a​ber nicht für beliebige Banachräume.

Seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Hilberträume und ${\displaystyle f\colon U\to H_{2}}$ eine auf einer Teilmenge ${\displaystyle U\subset H_{1}}$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung ${\displaystyle F\colon H_{1}\to H_{2}}$ mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit ${\displaystyle F\mid _{U}=f.}$

Literatur

• M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
• F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)

Weblinks

• Fremlin: Kirszbraun's Theorem
• Kirszbraun Theorem (Encyclopedia of Mathematics)