Exakter Funktor
Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.
Definition
Ein additiver, kovarianter Funktor heißt
- halbexakt, falls exakt ist
- linksexakt, falls exakt ist
- rechtsexakt, falls exakt ist
- exakt, falls exakt ist
für alle kurzen exakten Sequenzen in .[1][2]
Ein kontravarianter Funktor heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ist.
Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.[3]
Beispiele
- Die Hom-Funktoren und sind linksexakt.
- Die Tensorprodukt-Funktoren und sind rechtsexakt.
- Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
- Für eine endliche Gruppe ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
- Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
- Für eine beliebige natürliche Zahl ist der Funktor
- auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.
Einzelnachweise
- Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
- Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.
- Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.
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