Additiver Funktor

Additiver Funktor i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Kategorientheorie. Es handelt s​ich dabei u​m Funktoren zwischen präadditiven Kategorien, d​ie Gruppenhomomorphismen zwischen d​en Morphismengruppen definieren.

Definition

Es seien ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ präadditive Kategorien. Ein Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}$ heißt additiv, falls die Abbildungen ${\displaystyle \mathrm {Mor} _{\mathfrak {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Mor} _{\mathfrak {D}}(FX,FY);\,f\mapsto Ff}$ für je zwei Objekte ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ aus ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet m​an additive Funktoren a​uf additiven o​der abelschen Kategorien, d​a diese a​uf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien s​ind additiv.

Charakterisierung

Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:[1] Ein Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathfrak {B}}}$ ist genau dann additiv, wenn ${\displaystyle F(A_{1}\oplus A_{2})=F(A_{1})\oplus F(A_{2})}$ für alle Objekte ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ aus ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist ${\displaystyle (\iota _{j}:A_{j}\rightarrow A_{1}\oplus A_{2})_{j=1,2}}$ eine direkte Summe, so auch ${\displaystyle (F\iota _{j}:FA_{j}\rightarrow F(A_{1}\oplus A_{2}))_{j=1,2}}$.

Beispiele

• Die Hom-Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)}$ von der Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{R}}$ der ${\displaystyle R}$-Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$ in die Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}}$ der abelschen Gruppen, ${\displaystyle A}$ ein fester ${\displaystyle R}$-Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$
• Die Tensorfunktoren ${\displaystyle (A\otimes _{R}-):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$ sind additiv, ebenso ${\displaystyle (-\otimes _{R}A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$
• Halbexakte Funktoren sind additiv.[2]
• Der Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {M}}_{R}}$ mit ${\displaystyle FA=A\oplus R}$ für jeden Modul ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle Ff=f\oplus \mathrm {id} _{R}}$ für jeden Morphismus ${\displaystyle f}$ ist nicht additiv.

Eigenschaften

Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien h​aben folgende Eigenschaften:

• Additive Funktoren überführen Nullobjekte in Nullobjekte.[3]
• Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.[4]
• Ist ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz und ${\displaystyle F}$ ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}FA^{'}\rightarrow L_{n}FA^{''}\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}FA^{'}\rightarrow L_{0}FA^{''}\rightarrow 0}$,

wobei ${\displaystyle L_{n}}$ für die ${\displaystyle n}$-te Linksableitung stehe.[5] Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt.

• Ist ${\displaystyle F{\xrightarrow {\rho }}F^{'}{\xrightarrow {\sigma }}F^{''}}$ eine Folge additiver Funktoren und natürlicher Transformationen ${\displaystyle \rho }$ und ${\displaystyle \sigma }$ und ist für jeden projektiven Modul ${\displaystyle P}$ die Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow FP{\xrightarrow {\rho ^{P}}}F^{'}P{\xrightarrow {\sigma ^{P}}}F^{''}P\rightarrow 0}$

exakt, so hat man für beliebige Moduln ${\displaystyle A}$ eine lange exakte Sequenz[6]

${\displaystyle \ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}F^{'}A\rightarrow L_{n}F^{''}A\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}F^{'}A\rightarrow L_{0}F^{''}A\rightarrow 0}$.

Einzelnachweise

1. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.
2. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.
3. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 23.
4. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 24.
5. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.
6. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.