Ergodenzerlegung

In d​er Theorie dynamischer Systeme, spezieller d​er Theorie maßerhaltender Abbildungen, i​st die Ergodenzerlegung e​in wichtiges Hilfsmittel, u​m die Untersuchung allgemeiner dynamischer Systeme a​uf die Untersuchung ergodischer Systeme zurückführen z​u können.

Im Allgemeinen lassen s​ich invariante Maße n​icht einfach a​ls Summe o​der Linearkombination ergodischer Maße zerlegen, sondern m​an braucht kompliziertere Zerlegungsabbildungen, b​ei denen über d​en Raum d​er ergodischen Maße integriert werden muss.

Zerlegungsabbildung

Es sei ${\displaystyle (X,\omega )}$ ein Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ .

Wir bezeichnen mit ${\displaystyle M^{G}(X)}$ den Raum der ${\displaystyle G}$ -invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße als Teilmenge des (lokal-konvexen) topologischen Vektorraums der signierten Radon-Maße mit der schwach-*-Topologie und der Borelschen σ-Algebra. Weiter sei ${\displaystyle E^{G}(X)\subset M^{G}(X)}$ der (kompakte und konvexe) Unterraum der ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaße.

Eine Zerlegungsabbildung i​st eine messbare Abbildung

${\displaystyle \beta \colon X\to E^{G}(X)}$

${\displaystyle x\mapsto \beta _{x}}$

mit folgenden Eigenschaften:

• für alle ${\displaystyle g\in G,x\in X}$ ist ${\displaystyle \beta _{gx}=\beta _{x}}$
• für alle ${\displaystyle \eta \in E^{G}(X)}$ ist ${\displaystyle X_{\eta }:=\beta ^{-1}(\eta )}$ messbar und ${\displaystyle \eta (X_{\eta })=1}$
• für alle ${\displaystyle \mu \in M^{G}(X)}$ und alle messbaren Teilmengen ${\displaystyle A\subset X}$ gilt

${\displaystyle \mu (A)=\int _{X}\beta _{x}(A)d\mu (x)}$ .

Ergodenzerlegung

Es sei ${\displaystyle G}$ eine abzählbare Gruppe und ${\displaystyle (X,\omega )}$ ein Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung der Gruppe ${\displaystyle G}$ . Wenn ${\displaystyle M^{G}(X)\not =\emptyset }$ , dann ist ${\displaystyle E^{G}(X)\not =\emptyset }$ und es gibt eine Zerlegungsabbildung ${\displaystyle \beta \colon X\to E^{G}(X)}$ mit obigen Eigenschaften.

Eindeutigkeit

Die Ergodenzerlegung i​st eindeutig i​n folgendem Sinne:

• Wenn ${\displaystyle \beta ,\beta ^{\prime }\colon X\to E^{G}(X)}$ zwei Abbildungen mit den obigen Eigenschaften sind, dann gilt ${\displaystyle \beta _{x}=\beta _{x}^{\prime }}$ für alle ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ mit einer Menge ${\displaystyle N}$ , die ${\displaystyle \mu (N)=0}$ für alle ${\displaystyle \mu \in M^{G}(X)}$ erfüllt.

Beispiele

• Für ${\displaystyle \alpha =e^{2\pi i/n},n\in \mathbb {N} }$ betrachte die Wirkung von ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle X=S^{1}\subset \mathbb {C} }$ durch ${\displaystyle (m,z)\to \alpha ^{m}z}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,z\in S^{1}}$ . Dann ist für alle ${\displaystyle z\in S^{1}}$

${\displaystyle X_{\beta _{z}}=\left\{z,\alpha z,\alpha ^{2}z,\ldots ,\alpha ^{n-1}z\right\}}$

und ${\displaystyle \beta _{z}}$ ist die Gleichverteilung auf der endlichen Menge ${\displaystyle X_{\beta _{z}}}$ .

• Sei ${\displaystyle \alpha \in S^{1}\subset \mathbb {C} }$ keine Einheitswurzel und die Wirkung von ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle X=S^{1}\times \left[0,1\right]}$ gegeben durch ${\displaystyle (m,(z,t))\to (\alpha ^{m}z,t)}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,(z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}$ . Dann ist für alle ${\displaystyle (z,t)\in S^{1}\times \left[0,1\right]}$

${\displaystyle X_{\beta _{(z,t)}}=S^{1}\times \left\{t\right\}}$

und ${\displaystyle \beta _{(z,t)}}$ ist die Gleichverteilung (das normierte Lebesgue-Maß) auf ${\displaystyle S^{1}}$ .

Literatur

• V. S. Varadarajan: Groups of automorphisms of Borel spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), 191–220. pdf

Weblinks

• Albarrán: A guide to the ergodic decomposition theorem
• Löh: The ergodic decomposition theorem