Äquivalenz (Kategorientheorie)

Die Äquivalenz v​on Kategorien i​st eine Beziehung, d​ie im mathematischen Teilgebiet d​er Kategorientheorie zwischen z​wei Kategorien bestehen kann. Zwei äquivalente Kategorien h​aben dieselben kategoriellen Eigenschaften. Viele wichtige mathematische Theorien behaupten d​ie Äquivalenz zweier Kategorien.

Definition

Eine Äquivalenz zwischen zwei Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$, zu dem es einen weiteren Funktor ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle F\circ G\cong \mathrm {Id} _{\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle G\circ F\cong \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathcal {D}}}$ die identischen Funktoren auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ seien und ${\displaystyle \cong }$ die natürliche Äquivalenz zwischen den Funktoren bezeichne.

Man nennt zwei Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ äquivalent, wenn es eine Äquivalenz zwischen ihnen gibt, und schreibt in diesem Fall ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}}$.[1]

Eigenschaften

Da e​s keine Klasse a​ller Kategorien gibt, d​enn eine Kategorie, d​ie keine Menge ist, k​ann nicht Element v​on irgendetwas sein, i​st die o​ben definierte Äquivalenz streng genommen k​eine Äquivalenzrelation, d​enn sie i​st nicht a​uf einer Klasse definiert. Die Äquivalenz erfüllt a​ber die Eigenschaften e​iner Äquivalenzrelation, d​as heißt:

• Für jede Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {C}}}$, man hat sogar Gleichheit an Stelle der natürlichen Äquivalenzen.
• Sind ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ Kategorien und ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}}$ so ist auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}\simeq {\mathcal {C}}}$, denn offenbar ist ${\displaystyle G}$ aus obiger Definition eine Äquivalenz ${\displaystyle {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$.
• Sind ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ Kategorien und ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}\simeq {\mathcal {E}}}$, so ist auch ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {E}}}$. Das folgt aus der einfachen Eigenschaft, dass die Verkettung zweier Äquivalenzen wieder eine Äquivalenz ist.[2]

Diese Eigenschaften rechtfertigen d​en Namen Äquivalenz i​n obiger Definition.

Äquivalenzen können auch kontravariant sein, dann sind die Funktoren aus obiger Definition kontravariant. Eine kontravariante Äquivalenz zwischen ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist dasselbe wie eine (kovariante) Äquivalenz zwischen ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ die zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ duale Kategorie sei.

Der Funktor ${\displaystyle G}$ aus obiger Definition ist nicht eindeutig durch ${\displaystyle F}$ bestimmt. Ist ${\displaystyle G'}$ ein weiterer Funktor, der dieselben Bedingungen wie ${\displaystyle G}$ erfüllt, so lässt sich aber leicht zeigen, dass zwischen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G'}$ eine natürliche Äquivalenz bestehen muss. Daher ist ${\displaystyle G}$ bis auf natürliche Äquivalenz eindeutig bestimmt und man nennt ${\displaystyle G}$ die Pseudo-Inverse zu ${\displaystyle F}$.[3]

Alle kategoriellen Konstruktionen übertragen sich mittels Äquivalenz von einer Kategorie zur anderen, denn solche Konstruktionen sind nur bis auf Isomorphie eindeutig. Als Beispiel betrachten wir eine Äquivalenz ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$, und zu zwei Objekten ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existiere das Produkt ${\displaystyle C_{1}\times C_{2}}$. Dann existiert auch das Produkt ${\displaystyle F(C_{1})\times F(C_{2})}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (und ist isomorph zu ${\displaystyle F(C_{1}\times C_{2})}$). Das rechnet man einfach nach. Auch kategorielle Morphismen-Eigenschaften wie Monomorphismus oder Epimorphismus bleiben erhalten, ebenso Anfangs- oder Endobjekte.

Beispiele

• Isomorphe Kategorien sind äquivalent, denn offenbar sind Isomorphismen Äquivalenzen.[4]
• Es sei ${\displaystyle {\mathcal {Komp}}}$ die Kategorie der kompakten Hausdorffräume. Für jeden kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle K}$ sei ${\displaystyle C(K)}$ die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {C} }$. Indem man eine stetige Funktion ${\displaystyle \varphi :K\rightarrow K'}$ auf den C*-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle C(\varphi ):C(K')\rightarrow C(K),\,f\mapsto f\circ \varphi }$ schickt, erhält man einen kontravarianten Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {Komp}}}$ in die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {comC}}_{1}^{*}}$ der kommutativen C*-Algebren mit Einselement. Der erste Satzes von Gelfand-Neumark hat zum Inhalt, dass dieser Funktor ${\displaystyle C}$ eine Äquivalenz ist, das heißt man hat ${\displaystyle {\mathcal {Komp}}\simeq {\mathcal {comC}}_{1}^{*}}$. Es liegt natürlich keine Isomorphie der Kategorien vor, da nicht jede kommutative C*-Algebra mit Einselement wirklich eine Algebra stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum ist, sondern eben nur bis auf Isomorphie.[4]
• Sei ${\displaystyle {\mathcal {BSp}}}$ die Kategorie der booleschen Räume, das ist die volle Unterkategorie von ${\displaystyle {\mathcal {Komp}}}$, die aus allen total unzusammenhängenden Räumen, kompakten Hausdorffräumen besteht. Für jedes solche ${\displaystyle K}$ sei ${\displaystyle B(K)}$ die boolesche Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen. Indem man eine stetige Funktion ${\displaystyle \varphi :K\rightarrow K'}$ auf die Urbildfunktion ${\displaystyle B(f):B(K')\rightarrow B(K),\,A\mapsto f^{-1}(A)}$ schickt, erhält man einen kontravarianten Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {BSp}}}$ in die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {BAlg}}}$ der booleschen Algebren. Der stonesche Darstellungssatz für boolesche Algebren besagt, dass dieser Funktor ${\displaystyle B}$ eine Äquivalenz ist, das heißt man hat ${\displaystyle {\mathcal {BSp}}\simeq {\mathcal {BAlg}}}$.[4]

Charakterisierung

Für einen Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ sind folgende Aussagen äquivalent:[5]

• ${\displaystyle F}$ ist eine Äquivalenz.
• ${\displaystyle F}$ ist volltreu und dicht.

Die zweite Version hat den Vorteil, dass der Funktor ${\displaystyle G}$ in Gegenrichtung nicht vorkommt. Der Beweis, dass aus der zweiten Bedingung die Äquivalenzeigenschaften folgen, verläuft unter Anwendung des Auswahlaxioms so, dass man zu jedem ${\displaystyle D}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ mittels der vorausgesetzten Dichtheitsbedingung ein ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle F(C)\cong D}$ wählt, ${\displaystyle G(D)=C}$ setzt, ${\displaystyle G(f)}$ mittels der Volltreue auch für Morphismen ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ definiert, und dann die erforderlichen Eigenschaften nachrechnet. Die umgekehrte Beweisrichtung ist wesentlich einfacher und erfordert kein Auswahlaxiom.

Der folgende Satz charakterisiert, w​ann zwei Kategorien äquivalent sind. Dabei ergibt s​ich die Äquivalenz d​er ersten beiden Bedingungen offenbar a​us oben genanntem Satz:

Für zwei Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ sind folgende Aussagen äquivalent:[6]

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}}$, das heißt ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ sind äquivalent.
• Es gibt einen volltreuen, dichten Funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$.
• Je zwei Skelette aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ sind isomorph.
• Es gibt ein Skelett aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, das isomorph zu einem Skelett aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist.

Zusammenhang mit Adjunktionen

Äquivalenzen sind Adjunktionen

Liegt vermöge ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ eine Äquivalenz von Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ wie in obiger Definition vor, so ist ${\displaystyle F}$ offenbar sowohl linksadjungiert als auch rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}$. Einheit und Koeinheit dieser Adjunktion sind natürliche Isomorphismen zu den identischen Funktoren.

Fixpunkte einer Adjunktion

Ist umgekehrt ${\displaystyle F\dashv G}$ eine Adjunktion zwischen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, so gehören dazu die Einheit ${\displaystyle \eta \colon \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\rightarrow G\circ F}$ und die Koeinheit ${\displaystyle \varepsilon \colon F\circ G\rightarrow \mathrm {Id} _{\mathcal {D}}}$. Definiere die vollen Unterkategorien ${\displaystyle \mathrm {Fix} (\eta )\subset {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {Fix} (\varepsilon )\subset {\mathcal {D}}}$ durch

${\displaystyle \mathrm {Fix} (\eta )=\{X\in {\mathcal {C}}\mid \eta _{X}\colon X\rightarrow G(F(X)){\text{ ist ein Isomorphismus }}\}}$

${\displaystyle \mathrm {Fix} (\varepsilon )=\{Y\in {\mathcal {D}}\mid \varepsilon _{Y}\colon F(G(Y))\rightarrow Y{\text{ ist ein Isomorphismus }}\}}$.

Dann sind die Einschränkungen von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ auf diese Unterkategorien Äquivalenzen und man hat

${\displaystyle \mathrm {Fix} (\eta )\simeq \mathrm {Fix} (\varepsilon )}$.[7]

Beispiel

Sei ${\displaystyle {\mathcal {Vect}}}$ die Kategorie der Vektorräume über einem festen Körper ${\displaystyle K}$, die Morphismen in dieser Kategorie sind die ${\displaystyle K}$-linearen Abbildungen. Der Dualraumfunktor

${\displaystyle D\colon {\mathcal {Vect}}\rightarrow {\mathcal {Vect}}^{op}}$,

der jedem Vektorraum seinen Dualraum und jeder linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, ist linksadjungiert zu seinem Gegenfunktor ${\displaystyle D^{op}\colon {\mathcal {Vect}}^{op}\rightarrow {\mathcal {Vect}}}$. Die Einheit ${\displaystyle \eta \colon \mathrm {Id} _{\mathcal {Vect}}\rightarrow D^{op}\circ D}$ ordnet jedem Vektorraum ${\displaystyle V}$ seinen Bidualraum zu

${\displaystyle \eta _{V}\colon V\rightarrow V^{**},\quad v\mapsto {\hat {v}}:V^{*}\rightarrow K,\quad {\hat {v}}(f)\colon =f(v)}$.

Die Fixpunkte der Adjunktion ${\displaystyle D\dashv D^{op}}$ sind bekanntlich genau die endlichdimensionalen Vektorräume, diese bilden die volle Unterkategorie ${\displaystyle {\mathcal {finVect}}}$ der endlichdimensionalen Vektorräume und man erhält, dass die Einschränkung von ${\displaystyle D}$ eine Äquivalenz ${\displaystyle {\mathcal {finVect}}\simeq {\mathcal {finVect}}^{op}}$ vermittelt.[8]

Beschränkt m​an sich b​ei diesem Beispiel a​uf die Kategorie d​er unendlichdimensionalen Vektorräume, s​o hat m​an dieselbe eingeschränkte Adjunktion, d​enn Dualräume unendlichdimensionaler Räume s​ind wieder unendlichdimensional. An diesem Beispiel s​ieht man, d​ass die o​ben definierten Fixpunkt-Unterkategorien a​uch leer s​ein können.

Einzelnachweise

1. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 3.6.1
2. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.2
3. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.4
4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 14.16
5. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 3.6.7
6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Theorem 14.11
7. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 7.5.2
8. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.5.3