Determinantal point process

Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen ${\displaystyle n}$-Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning[1] und der Physik an.

In d​er Theorie d​er Zufallsmatrizen h​aben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften u​nd man erhält i​n vielen Situation d​en gleichen Prozess, unabhängig v​on der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen z​u diesem Phänomen s​ind noch n​icht geklärt u​nd Bestandteil moderner mathematischer Forschung.

Definition

Sei ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ein lokalkompakter polnischer Raum und ${\displaystyle K(x,y)}$ ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators ${\displaystyle K:L^{2}(\mathrm {Z} ,\mu )\to L^{2}(\mathrm {Z} ,\mu )}$.

Ein simpler Punktprozess ${\displaystyle \zeta }$ ist ein determinantal point process, falls seine ${\displaystyle n}$-Punkt-Korrelationsfunktion ${\displaystyle \rho ^{(n)}}$ existiert und für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt

${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})=\operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\prod \limits _{1\leq i\leq n}\mu (\mathrm {d} x_{i})}$.

Erläuterungen

Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch ${\displaystyle K(x,y)}$ positiv sein.

Seien ${\displaystyle M_{1},\dots M_{n}\subset \mathrm {Z} }$ disjunkt, dann gilt

${\displaystyle \mathbb {E} [\zeta (M_{1})\cdots \zeta (M_{n})]=\int _{M_{1}\times \cdots \times M_{n}}\operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\mu (\mathrm {d} x_{1})\cdots \mu (\mathrm {d} x_{n})}$.

Pfaffian point processes

Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren ${\displaystyle n}$-Punkt-Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind:

${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})=\operatorname {Pf} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\prod \limits _{1\leq i\leq n}\mu (\mathrm {d} x_{i})}$

wobei ${\displaystyle K(x,y)}$ ein ${\displaystyle 2\times 2}$ antisymmetrischer Kernel ist:

${\displaystyle K(x,y)={\begin{pmatrix}K_{11}(x,y)&K_{12}(x,y)\\K_{21}(x,y)&K_{22}(x,y)\end{pmatrix}}}$

und ${\displaystyle K(x,y)^{t}=-K(y,x)}$.

Beispiele

Beispiele aus der Physik

Der Fermion process u​nd der Boson process.

Theorie der Zufallsmatrizen

Die empirischen Spektralmaße v​on einer großen Klasse v​on unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) z​u determinantal p​oint processes m​it folgenden Kernen

${\displaystyle \operatorname {Sine} _{2}}$-Prozess

${\displaystyle \operatorname {K_{Sine}} (x,y):={\frac {\sin(\pi (x-y))}{\pi (x-y)}}}$

${\displaystyle \operatorname {Airy} _{2}}$-Prozess

${\displaystyle \operatorname {K_{Airy}} (x,y):={\frac {\operatorname {Ai} (x)\operatorname {Ai} '(y)-\operatorname {Ai} '(x)\operatorname {Ai} (y)}{x-y}}}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {Ai} }$ die Airy-Funktion bezeichnet.

Universalität

Die ${\displaystyle \operatorname {Sine} _{\beta }}$, ${\displaystyle \operatorname {Airy} _{\beta }}$ und ${\displaystyle \operatorname {Bessel} _{\beta }}$ -Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.

Literatur

• Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.

Einzelnachweise

1. Alex Kulesza, Ben Taskar: Determinantal Point Processes for Machine Learning. Now Publisher Inc, 2012, ISBN 978-1-60198-628-3 (englisch).