Deming-Regression

In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (${\displaystyle x_{i},y_{i}}$) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die ${\displaystyle x}$- als auch für die ${\displaystyle y}$-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse; sie beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient ${\displaystyle \delta }$ ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression g​eht auf e​ine Arbeit v​on C.H. Kummell (1879) zurück;[1] 1937 w​urde die Methode v​on T.C. Koopmans wieder aufgegriffen[2] u​nd in allgemeinerem Rahmen 1943 v​on W. E. Deming für technische u​nd ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.[3]

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall ${\displaystyle \delta =1}$. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der York-Regression.

Rechenweg

Die gemessenen Werte ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle y_{i}}$ werden als Summen der „wahren Werte“ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ bzw. ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ und der „Fehler“ ${\displaystyle \eta _{i}}$ bzw. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ aufgefasst, d. h. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(x_{i}^{*}+\eta _{i},y_{i}^{*}+\varepsilon _{i})}$ Die Datenpaare (${\displaystyle x_{i}^{*},y_{i}^{*}}$) liegen auf der zu berechnenden Geraden. ${\displaystyle \eta _{i}}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der Fehlervarianzen ${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}}$.

Es w​ird eine Gerade

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x}$

gesucht, d​ie die gewichtete Residuenquadratsumme minimiert:

${\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}+{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{i}^{*}}SQR}$

Für d​ie weitere Rechnung werden d​ie folgenden Hilfswerte benötigt:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$     (arithmetisches Mittel der ${\displaystyle x_{i}}$)

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$     (arithmetisches Mittel der ${\displaystyle y_{i}}$)

${\displaystyle s_{x}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$     (Stichprobenvarianz der ${\displaystyle x_{i}}$)

${\displaystyle s_{y}^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$     (Stichprobenvarianz der ${\displaystyle y_{i}}$)

${\displaystyle s_{xy}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$     (Stichprobenkovarianz der ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$).

Damit ergeben s​ich die Parameter z​ur Lösung d​es Minimierungsproblems:[4]

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2}+{\sqrt {(s_{y}^{2}-\delta s_{x}^{2})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}}}$

${\displaystyle \beta _{0}={\overline {y}}-\beta _{1}{\overline {x}}}$.

Die ${\displaystyle x_{i}^{*}}$-Koordinaten berechnet man mit

${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {\beta _{1}}{\beta _{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i})}$.

Einzelnachweise

1. C. H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: Annals of Mathematics (Hrsg.): The Analyst. 6, Nr. 4, 1879, S. 97–105. doi:10.2307/2635646.
2. T. C. Koopmans: Linear regression analysis of economic time series. DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands, 1937.
3. W. E. Deming: Statistical adjustment of data. Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985), 1943, ISBN 0-486-64685-8.
4. P. Glaister: Least squares revisited. The Mathematical Gazette. Vol. 85 (2001), S. 104–107, JSTOR 3620485.