Darwin-Term

Der Darwin-Term ${\displaystyle H_{\mathrm {Darwin} }}$ (nach Charles Galton Darwin) ist ein relativistischer Korrekturterm im Hamiltonoperator ${\displaystyle H}$, um die Feinstruktur im Wasserstoffspektrum theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der Dirac-Theorie.

Er beschreibt, d​ass in nicht-relativistischer Näherung d​ie elektrostatische Wechselwirkung d​es Elektrons m​it dem elektrischen Feld d​es Kerns aufgrund d​er Zitterbewegung n​icht mehr lokal ist, sondern a​uch von e​inem kleinen Bereich d​es elektrischen Feldes u​m das Elektron h​erum abhängt:

${\displaystyle H_{\mathrm {Darwin} }={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\left(\Delta V\right).}$

Da das Potential ${\displaystyle V(r)=-\alpha \hbar cZ/r}$ ein Coulomb-Potential ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als

${\displaystyle H_{\mathrm {Darwin} }=Z\alpha {\frac {\hbar ^{3}}{8m_{\mathrm {e} }^{2}c}}\cdot 4\pi \delta ^{(3)}({\vec {r}}).}$

Dabei ist

• ${\displaystyle \alpha }$ die Feinstrukturkonstante
• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ die Elektronenmasse
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle \Delta }$der Laplace-Operator
• ${\displaystyle Z}$ die Kernladungszahl
• ${\displaystyle \delta ^{(3)}({\vec {r}})\,\!}$ die Delta-Distribution in drei Dimensionen.

Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl ${\displaystyle l=0}$ eine Rolle, weil nur deren Wellenfunktionen am Kernort (${\displaystyle {\vec {r}}=0}$) nicht verschwinden.[1]

Heuristische Herleitung

Der Darwin-Term kann im relativistischen Wasserstoffproblem formal stringent hergeleitet werden, indem die relativistische Korrektur und die Spin-Bahn-Kopplung vom Gesamtergebnis subtrahiert werden. Eine heuristische Herleitung nimmt an, dass das Elektron nicht exakt lokalisiert ist, sondern seine Position um ${\displaystyle \delta r={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {e} }c}}={\frac {\lambda _{\mathrm {C} }}{2\pi }}}$, die reduzierte Compton-Wellenlänge des Elektrons, schwankt. Eine solche Herleitung führt nicht exakt auf den korrekten Darwin-Term, sondern nur auf die richtige Größenordnung

${\displaystyle H_{\text{Darwin}}^{\text{heuristisch}}={\frac {\hbar ^{2}}{6m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\Delta V}$.

Literatur

• Armin Wachter: Relativistische Quantenmechanik. Springer, Berlin/ Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22922-1, S. 167.

Einzelnachweise

1. Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 221.