Zitterbewegung

Die Zitterbewegung i​st eine theoretische, schnelle Bewegung v​on Elementarteilchen, speziell v​on Elektronen, d​ie der (relativistischen) Dirac-Gleichung gehorchen.

Die Existenz e​iner solchen Bewegung w​urde 1928 v​on Gregory Breit u​nd 1930 v​on Erwin Schrödinger postuliert, a​ls Ergebnis seiner Analyse v​on Wellenpaket-Lösungen d​er Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen i​m Vakuum. In diesem produziert e​ine Interferenz zwischen d​em positiven u​nd dem negativen Energiezustand e​ine Fluktuation d​er Position d​es Elektrons u​m den Mittelwert m​it einer Kreisfrequenz von

${\displaystyle \omega =2m_{\mathrm {e} }c^{2}/\hbar \approx 1{,}6\cdot 10^{21}\,{\text{s}}^{-1}}$

mit

• der Elektronenmasse ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$
• der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$
• dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$.

Die Zitterbewegung e​ines freien relativistischen Teilchens w​urde nie beobachtet, a​ber das Verhalten e​ines solchen Teilchens w​urde mit e​inem eingesperrten Ion simuliert, i​ndem man e​s in e​ine Umgebung platzierte, s​o dass d​ie nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für d​as Ion dieselbe mathematische Form w​ie die Dirac-Gleichung h​at (obwohl d​ie physikalische Situation anders ist).

Theorie

Aus d​er zeitabhängigen Schrödingergleichung

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t),}$

wobei ${\displaystyle H}$ der Dirac-Hamiltonoperator für ein Elektron im Vakuum ist

${\displaystyle H=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)}$

und ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$ die Wellenfunktion,

folgt i​m Heisenberg-Bild, d​ass jeder Operator Q d​er folgenden Gleichung gehorcht:

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}(t)=\left[H,Q\right].}$

Speziell i​st der zeitabhängige Ortsoperator gegeben durch

${\displaystyle \hbar {\frac {\mathrm {d} x_{k}}{\mathrm {d} t}}(t)=i\left[H,x_{k}\right]=c\hbar \alpha _{k}}$

mit ${\displaystyle \alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k}}$.

Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator ${\displaystyle \alpha _{k}}$ als k-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden kann.

Die Zeitabhängigkeit d​es Geschwindigkeitsoperators i​st gegeben durch

${\displaystyle \hbar {\frac {\mathrm {d} \alpha _{k}}{\mathrm {d} t}}(t)=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2[i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}]=2i[cp_{k}-\alpha _{k}H],}$

wobei ${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\tfrac {i}{2}}[\gamma _{k},\gamma _{l}]}$ ist und ${\displaystyle p}$ der Impuls.

Weil sowohl ${\displaystyle p_{k}}$ als auch ${\displaystyle H}$ zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung zweimal integriert werden, um die explizite Zeitabhängigkeit ${\displaystyle x_{k}(t)}$ des Ortsoperators zu erhalten. Zuerst:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})e^{-2iHt/\hbar }+cp_{k}H^{-1}}$

Dann:

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\frac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1).}$

Der resultierende Ausdruck besteht aus

• einer Anfangsposition ${\displaystyle x_{k}(0)}$
• einem Bewegungsanteil ${\displaystyle c^{2}p_{k}H^{-1}t}$ proportional zur Zeit und
• einem unerwarteten Schwingungsanteil („Zitterbewegung“) ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1)}$ mit einer Amplitude, die der Compton-Wellenlänge entspricht.

Interessanterweise verschwindet d​er Zitterbewegungsterm, w​enn man d​ie Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, d​ie vollständig a​us Wellen m​it positiver Energie (oder vollständig a​us Wellen m​it negativer Energie) bestehen. Dies k​ann durch d​ie Foldy-Wouthuysen-Transformation erreicht werden.

Siehe auch

• Casimir-Effekt
• Lamb-Verschiebung

Literatur

• Gregory Breit: An Interpretation of Dirac's Theory of the Electron. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 14, Nr. 7, 1928, S. 553–559, doi:10.1073/pnas.14.7.553 (englisch).
• Erwin Schrödinger: Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik. In: Sonderausgabe aus den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften Phys.-Math. Klasse. Band 24, 1930, ZDB-ID 959457-7, S. 418–428.
• Erwin Schrödinger: Zur Quantendynamik des Elektrons. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1931, S. 63–72.
• Albert Messiah: Quantum Mechanics. Band 2. North-Holland, Amsterdam 1962, XX.37, S. 950–952 (englisch).
• George Sparling: Zitterbewegung. In: Seminaires & Congrès. Band 4, 2000, ZDB-ID 2045737-6, S. 277–305 (englisch, emis.de [PDF; 337 kB]).

Weblinks

• Tobias Brandes: Vorlesungsskript Quantenmechanik II, TU Berlin, WS 2011/12. (pdf) S. 21–25, abgerufen am 3. September 2018.
• Adrian Wüthrich: Feynman’s Struggle and Dyson’s Surprise: The Development and Early Application of a New Means of Representation. In: Shaul Katzir, Christoph Lehner und Jürgen Renn (Hrsg.): Traditions and Transformations in the History of Quantum Physics. Third International Conference on the History of Quantum Physics, Berlin, June 28 – July 2, 2010. 2013, ISBN 978-3-8442-5134-0, S. 277–279 (englisch, edition-open-access.de – Historische Betrachtung).
• David Hestenes: The zitterbewegung interpretation of quantum mechanics. In: Found Phys. Band 20, 1990, S. 1213, doi:10.1007/BF01889466 (englisch, eine alternative Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus).
• Christoph Wunderlich: Zitternd in der Falle. In: Physik Journal. Band 9, Nr. 3, 2010, S. 20–24 (pro-physik.de [PDF]).
• Rainer Scharf: Atomare Zitterpartie. In: pro-physik.de. 7. Januar 2010, abgerufen am 3. September 2018 (Zusammenfassung zur Simulation von eingesperrten Ionen).