Chern-Simons-Funktional

Das Chern-Simons-Funktional i​st in Differentialgeometrie, Topologie u​nd mathematischer Physik v​on Bedeutung. In d​er Mathematik w​ird es z​ur Definition d​er Chern-Simons-Invariante v​on Zusammenhängen a​uf Prinzipalbündeln über 3-Mannigfaltigkeiten verwendet. Ursprünglich v​on Chern u​nd Simons i​n der Theorie d​er sekundären charakteristischen Klassen eingeführt, h​atte es mindestens z​wei unerwartete Anwendungen, nämlich z​um einen Wittens Einordnung i​n die Quantenfeldtheorie m​it einer physikalisch-geometrischen Interpretation d​es Jones-Polynoms (Topologische Quantenfeldtheorie)[1][2] u​nd zum anderen d​ie Interpretation d​er Chern-Simons-Invariante flacher Bündel a​ls komplexwertige Version d​es hyperbolischen Volumens.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und ${\displaystyle M}$ eine 3-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeit. Unter diesen Voraussetzungen ist jedes ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$ trivialisierbar, hat also einen Schnitt ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$.

Für e​inen Zusammenhang

${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$

wird s​ein Chern-Simons-Wirkungsfunktional definiert durch

${\displaystyle CS(\omega ,s)=\int _{M}\operatorname {Tr} (s^{*}(\omega \wedge d\omega +{\frac {2}{3}}\omega \wedge \omega \wedge \omega ))}$.

Diese Definition hängt a priori von der Wahl eines Schnittes ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$ ab, für eine Eichtransformation

${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)}$

gilt aber

${\displaystyle CS(\omega ,gs)-CS(\omega ,s)=-{\frac {1}{6}}\int _{M}g^{*}\omega _{MC}\wedge \left[\omega _{MC},\omega _{MC}\right]\in \mathbb {Z} }$,

wobei ${\displaystyle \omega _{MC}}$ die Maurer-Cartan-Form ist.

Man erhält also einen modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ wohldefinierten Wert

${\displaystyle CS(\omega )\in \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \pi _{1}G=0}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{M}}$ die (unendlich-dimensionale) Mannigfaltigkeit aller Zusammenhänge auf ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündeln über ${\displaystyle M}$.

Dann ist ${\displaystyle CS:{\mathcal {C}}_{M}\rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ glatt und hat die folgenden Eigenschaften:

• (Funktorialität)

Wenn ${\displaystyle \phi :P_{1}\rightarrow P_{2}}$ eine Bündelabbildung über einem orientierungserhaltenden Diffeomorphismus ${\displaystyle \psi :M_{1}\rightarrow M_{2}}$ ist, dann gilt

${\displaystyle CS(\phi ^{*}\omega )=CS(\omega )}$

für jeden Zusammenhang ${\displaystyle \omega }$.

• (Additivität)

Wenn ${\displaystyle M=M_{1}\cup M_{2}}$ eine disjunkte Vereinigung ist, und ${\displaystyle \omega }$ ein Zusammenhang auf ${\displaystyle M}$, dann gilt

${\displaystyle CS(\omega )=CS(\omega \mid _{M_{1}})+CS(\omega \mid _{M_{2}})}$.

• (Erweiterung der Strukturgruppe)

Wenn ${\displaystyle G_{1}\rightarrow G_{2}}$ eine Inklusion einfach zusammenhängender, kompakter Lie-Gruppen, ${\displaystyle \omega _{1}}$ ein Zusammenhang auf einem ${\displaystyle G_{1}}$-Bündel ${\displaystyle E_{1}\rightarrow M}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ die Erweiterung von ${\displaystyle \omega _{1}}$ auf ein ${\displaystyle G_{2}}$-Bündel ${\displaystyle E_{2}\rightarrow M}$ ist, dann gilt

${\displaystyle CS(\omega _{1})=CS(\omega _{2})}$.

Flache Zusammenhänge

Es g​ilt

${\displaystyle {\frac {\delta CS}{\delta \omega }}={\frac {1}{2\pi }}\Omega }$,

wobei ${\displaystyle \Omega }$ die Krümmungsform des Zusammenhangs ${\displaystyle \omega }$ bezeichnet. Die kritischen Punkte des Chern-Simons-Funktionals sind also gerade die flachen Zusammenhänge. Insbesondere ist das Chern-Simons-Funktional konstant auf den Zusammenhangskomponenten des Modulraums flacher Zusammenhänge auf ${\displaystyle M\times G}$.

Satz von Yoshida

Es sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \rho$ :\pi _{1}M\rightarrow PSL(2,\mathbb {C} )} ihre Holonomiedarstellung. Dann gilt für das assoziierte flache Bündel ${\displaystyle E_{\rho }}$

${\displaystyle CS(E_{\rho })=cs(M)+{\frac {i}{2\pi ^{2}}}\operatorname {vol} (M)\in \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$,

wobei ${\displaystyle cs(M)}$ die Riemannsche Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs bezeichnet.[3]

Das Bild der Fundamentalklasse unter der Darstellung ${\displaystyle \rho }$ definiert eine Homologieklasse

${\displaystyle (B\rho )_{*}\left[M\right]\in H_{3}(PSL(2,\mathbb {C} )^{\delta };\mathbb {Z} )\simeq {\hat {B}}(\mathbb {C} )}$

in d​er erweiterten Bloch-Gruppe u​nd der Rogers-Dilogarithmus

${\displaystyle R:{\hat {B}}(\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {C} /2\pi ^{2}\mathbb {Z} }$

bildet ${\displaystyle (B\rho )_{*}\left[M\right]}$ auf ${\displaystyle CS(E_{\rho })}$ ab. Das liefert eine explizite Formel für die Chern-Simons-Invariante und einen alternativen Beweis des Satzes von Yoshida.[4][5][6]

Algorithmus für flache Bündel

Es sei ${\displaystyle E_{\rho }}$ ein flaches Bündel über einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit Holonomie ${\displaystyle \rho$ :\pi _{1}M\rightarrow SL(n,\mathbb {C} )} . Dann bildet der Rogers-Dilogarithmus ${\displaystyle \lambda ((B\rho )_{*}\left[M\right])}$ auf ${\displaystyle CS(E_{\rho })}$ ab, wobei ${\displaystyle \lambda :H_{3}(SL(n,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )\rightarrow {\hat {B}}(\mathbb {C} )}$ den kanonischen Homomorphismus bezeichnet.[7] Der Wert von ${\displaystyle CS(E_{\rho })}$ kann aus den ptolemäischen Koordinaten der Darstellung ${\displaystyle \rho }$ zu einer Triangulierung von ${\displaystyle M}$ berechnet werden. (Dieser Ansatz funktioniert auch für 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand ${\displaystyle \partial M}$, solange die Einschränkung von ${\displaystyle \rho }$ auf die Fundamentalgruppen des Randes unipotent ist.) Implementiert ist dieser Algorithmus im Ptolemy Module als Teil der Software SnapPy.

Verallgemeinerung

→ Hauptartikel: Chern-Simons-Form

In beliebigen Dimensionen k​ann man Chern-Simons-Formen z​ur Definition sekundärer charakteristischer Klassen verwenden.

Literatur

• Freed, Daniel S.: Classical Chern-Simons theory. I.: Adv. Math. 113, no. 2, 237–303 (1995). pdf II.: Houston J. Math. 28, no. 2, 293–310 (2002). pdf

Weblinks

• Baseilhac: Chern Simons Theory in Dimension Three
• Young: Chern-Simons Theory, Knots and Moduli Spaces of Flat Connections
• Waldorf: Lectures on gerbes, loop spaces, and Chern-Simons theory (diskutiert die Verallgemeinerung auf ${\displaystyle \pi _{1}G\not =1}$, wenn im Allgemeinen kein Schnitt ${\displaystyle s}$ existiert)
• Goerner: ptolemy module (Software zur Berechnung der Chern-Simons-Invarianten flacher Bündel)
• Greg Moore: Introduction To Chern-Simons Theories

Einzelnachweise

1. Witten, Edward: Quantum field theory and the Jones polynomial. Commun. Math. Phys. 121, No. 3, 351-399 (1989).pdf
2. Bar-Natan, Dror: Perturbative Chern-Simons theory. J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), no. 4, 503–547. pdf
3. Yoshida, Tomoyoshi: The η-invariant of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 81, 473-514 (1985). pdf
4. Neumann, Walter D.: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413-474 (2004). pdf
5. Goette, Sebastian; Zickert, Christian K.: The extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 11, 1623-1635 (2007). pdf
6. Marché, Julien: Geometric interpretation of simplicial formulas for the Chern-Simons invariant. Algebr. Geom. Topol. 12, No. 2, 805-827 (2012). pdf (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven)  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
7. S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. pdf