Dilogarithmus

In d​er Mathematik werden verschiedene spezielle Funktionen a​ls Dilogarithmus bezeichnet. Der klassische Dilogarithmus i​st ein Spezialfall d​es Polylogarithmus.

Klassischer Dilogarithmus

Werte des klassischen Dilogarithmus auf der reellen Achse. (Der Imaginärteil ist dort identisch Null.)

→ Hauptartikel: Polylogarithmus

Der klassische Dilogarithmus ist für komplexe Zahlen ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$ definiert durch die Potenzreihe

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}}$.

Er lässt sich durch analytische Fortsetzung auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left[1,\infty \right]}$ fortsetzen:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$.

(Hierbei muss entlang eines Weges in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left[1,\infty \right]}$ integriert werden.)

Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ definiert durch

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\ln(|z|)}$.

Er ist wohl-definiert und stetig, auch in ${\displaystyle \left[1,\infty \right]}$.

Er ist analytisch in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}}$, in 0 und 1 hat er Singularitäten vom Typ ${\displaystyle r\ln(r)}$.

Rogers-Dilogarithmus

Der Rogers-Dilogarithmus i​st definiert durch

${\displaystyle L(x)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\left(\operatorname {Li} _{2}(x)+{\frac {1}{2}}\ln(x)\ln(1-x)\right)}$

für ${\displaystyle 0<x<1}$.

Eine andere gebräuchliche Definition ist

${\displaystyle R(x)=\operatorname {Li} _{2}(x)+{\frac {1}{2}}\ln(x)\ln(1-x)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

Diese hängt m​it der erstgenannten via

${\displaystyle R(x)={\frac {\pi ^{2}}{6}}(L(x)-1)}$

zusammen.

Man kann ${\displaystyle R}$ (unstetig) auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fortsetzen durch ${\displaystyle R(1)=0,R(0)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ und

${\displaystyle R(x)=\left\{{\begin{array}{ll}-R(1/x)\ &{\mbox{für}}\ x>1\\-R(x/(x-1))\ &{\mbox{für}}\ x<0\end{array}}\right\}}$.

Elliptischer Dilogarithmus

Sei ${\displaystyle E}$ eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte elliptische Kurve. Mittels der Weierstraßschen ℘-Funktion lässt sie sich mittels eines Gitters ${\displaystyle \Lambda =\left\{1,\tau \right\}}$ parametrisieren durch

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda \rightarrow E(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle u}$ mod ${\displaystyle \Lambda \mapsto (p(u),p^{\prime }(u))}$.

Der elliptische Dilogarithmus ${\displaystyle D^{E}\colon E(\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {C} }$ ist dann definiert durch

${\displaystyle D^{E}(p(u),p^{\prime }(u))=\sum _{n=-\infty }^{\infty }D_{2}(e^{2\pi i(n\tau +u)})}$,

wobei ${\displaystyle D_{2}}$ den Bloch-Wigner-Dilogarithmus bezeichnet.

Der elliptische Dilogarithmus stimmt bis auf rationale Vielfache von ${\displaystyle \pi }$ mit dem Wert ${\displaystyle L(E,2)}$ der L-Funktion überein.[1]

Spezielle Werte

Klassischer Dilogarithmus

Für die folgenden Zahlen lassen sich ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ in geschlossener Form darstellen:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}},\qquad \operatorname {Li} _{2}(0)=0,}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {\ln ^{2}(2)}{2}},\qquad \operatorname {Li} _{2}(1)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right),\qquad \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right),\qquad \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$.

Mit der sechsten Einheitswurzel ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$ und der Gieseking-Konstante ${\displaystyle V_{0}=1{,}0149\ldots }$ hat man außerdem

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\omega )={\frac {\pi ^{2}}{36}}+V_{0}i,\qquad \operatorname {Li} _{2}(\omega ^{2})=-{\frac {\pi ^{2}}{18}}+{\frac {2}{3}}V_{0}i,}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1+\omega )={\frac {\pi ^{2}}{9}}+\left({\frac {2}{3}}V_{0}+{\frac {1}{3}}\ln(3)\pi \right)i,\qquad \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{1+\omega }}\right)={\frac {5\pi ^{2}}{72}}-{\frac {1}{8}}\ln(3)+\left(-{\frac {2}{3}}V_{0}+{\frac {1}{12}}\ln(3)\pi \right)i}$.

Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Werte des Bloch-Wigner-Dilogarithmus können bisher nur numerisch berechnet werden und man kennt nur wenige algebraische Relationen zwischen Werten des Bloch-Wigner-Dilogarithmus. Eine Vermutung von John Milnor besagt für ${\displaystyle N\geq 3}$:

die Zahlen ${\displaystyle D_{2}(e^{2\pi i{\frac {j}{N}}})}$ für ${\displaystyle 0<j<{\frac {N}{2}}}$ und ${\displaystyle \operatorname {ggT} (j,N)=1}$ sind linear unabhängig über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Rogers-Dilogarithmus

Es gibt zahlreiche algebraische Identitäten zwischen Werten von ${\displaystyle L}$ in rationalen oder algebraischen Argumenten. Beispiele spezieller Werte sind

${\displaystyle L(0)=0,\quad L\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}},\quad L(1)=1,\quad L\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)={\frac {2}{5}},\quad L\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)={\frac {3}{5}}}$.

Mit der sechsten Einheitswurzel ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$ und der Gieseking-Konstante ${\displaystyle V_{0}=1,0149...}$ hat man

${\displaystyle R(\omega )=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}+V_{0}i,\qquad R(\omega ^{2})=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}+\left({\frac {2}{3}}V_{0}+{\frac {1}{6}}\ln(3)\pi \right)i,}$

${\displaystyle R(1+\omega )=\left({\frac {2}{3}}V_{0}+{\frac {1}{6}}\ln(3)\pi \right)i,\qquad R\left({\frac {1}{1+\omega }}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{8}}\ln(3)+{\frac {1}{8}}\ln ^{2}(3)+\left(-{\frac {2}{3}}V_{0}+{\frac {1}{12}}\ln(3)\pi \right)i}$.

Funktionalgleichungen

Klassischer Dilogarithmus

Der klassische Dilogarithmus genügt zahlreichen Funktionalgleichungen, z​um Beispiel

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\ln ^{2}(z)}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln(z)\cdot \ln(1-z),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln(z)\cdot \ln(z+1),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}(-z),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xz)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$. Daraus folgt: ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}}$.

Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus genügt d​en Identitäten

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {D} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}(1-z)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

und d​er 5-Term-Relation

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0}$.

Rogers-Dilogarithmus

Der Rogers-Dilogarithmus erfüllt d​ie Beziehung

${\displaystyle L(x)+L(1-x)=1}$

und Abels Funktionalgleichung

${\displaystyle L(x)+L(y)=L(xy)+L\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)+L\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)}$.

Für ${\displaystyle R}$ hat man

${\displaystyle R(x)+R(1-x)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

und d​ie 5-Term-Relation

${\displaystyle R(x)-R(y)+R\left({\frac {y}{x}}\right)-R\left({\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right)+R\left({\frac {1-x}{1-y}}\right)=0}$,

insbesondere ist ${\displaystyle R}$ eine wohldefinierte Funktion auf der Bloch-Gruppe.

Integration von Funktionen

Folgende Gleichung gilt für ${\displaystyle v\not =0}$ und ${\displaystyle {\frac {uv-tw}{v}}>0}$:

${\displaystyle {\frac {\ln(tx+u)}{vx+w}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{v}}\ln \left({\frac {uv-tw}{v}}\right)\ln(vx+w)-{\frac {1}{v}}\operatorname {Li} _{2}\left(-t{\frac {vx+w}{uv-tw}}\right)\right]}$

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{5}{\frac {\ln(x+2)}{3x+4}}\mathrm {d} x&=\left[{\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {2}{3}}\right)\ln(3x+4)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {3}{2}}x-2\right)\right]_{(x=5)}-\left[{\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {2}{3}}\right)\ln(3x+4)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {3}{2}}x-2\right)\right]_{(x=0)}\\&=-{\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {3}{2}}\right)\ln \left({\frac {19}{4}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {19}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}(-2)\\\end{aligned}}}$

Weitere Funktionen lassen s​ich mit d​em Dilogarithmus integrieren:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\operatorname {Li} _{2}(x)-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}(x^{2})\right]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[2\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x^{2}}{(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{2}}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x(1-x^{2})}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {2x}{x+1}}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {artanh} (x)^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left(2x({\sqrt {x^{2}+1}}-x)\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} (x)^{2}\right]}$

Deswegen gilt: ${\displaystyle \int _{0}^{1/2}{\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{20}}}$

Daraus folgt: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!}{16^{k}(2k+1)^{2}(k!)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[2\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x^{2}}{({\sqrt {x^{2}+1}}+1)^{2}}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}\right)\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(2x({\sqrt {x^{2}+1}}-x)\right)-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}\left(4x({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\right]}$

Siehe auch

• Quantendilogarithmus
• Trilogarithmus

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dilogarithm. In: MathWorld (englisch).
• Don Zagier: The dilogarithm function (PDF; 1,5 MB)
• Matilde Lalin: The dilogarithm
• Dupont, Zickert: A dilogarithmic formula for the Cheeger-Chern-Simons class

Einzelnachweise

1. K₂ and L-functions of elliptic curves