Cardanische Formeln

Die cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Damit werden alle Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall, daß der Koeffizient für ${\displaystyle x^{2}}$ Null ist.

Die cardanischen Formeln w​aren eine wichtige Motivation für d​ie Einführung d​er komplexen Zahlen, d​a man i​m Fall d​es casus irreducibilis (lat. für „nicht zurückführbarer Fall“) d​urch das Ziehen e​iner Quadratwurzel a​us einer negativen Zahl z​u reellen Lösungen gelangt. Diesen Fall z​u lösen, schaffte e​rst Franciscus Vieta u​m 1600 mittels d​er Trigonometrie.

Die cardanischen Formeln besitzen h​eute für e​ine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen k​aum noch e​ine praktische Bedeutung, d​a sich d​ie Lösungen näherungsweise bequemer d​urch das Newton-Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen. Sie s​ind jedoch für e​ine (exakte, „algebraische“) Auflösung i​n Form v​on Radikalen v​on erheblicher Bedeutung. Der Nachweis nämlich, d​ass es k​eine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften u​nd höheren Grades gibt, h​at die Entwicklung d​er Algebra entscheidend beeinflusst (siehe Galoistheorie).

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$

mit reellen oder komplexen Zahlen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle A\neq 0}$ kann durch Division durch ${\displaystyle A}$ zunächst in die Normalform

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

gebracht werden mit ${\displaystyle a={\tfrac {B}{A}}}$, ${\displaystyle b={\tfrac {C}{A}}}$ und ${\displaystyle c={\tfrac {D}{A}}}$.

Mit Hilfe der Substitution ${\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}}$ wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhält die reduzierte Form:

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0,}$

wobei

${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}={\frac {9AC-3B^{2}}{9A^{2}}}}$     und     ${\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c={\frac {-9ABC+27A^{2}D+2B^{3}}{27A^{3}}}}$

Die cardanische Formel

Die reduzierte Form wird mit Hilfe der cardanischen Formel aufgelöst, und anschließend werden durch die Rücksubstitution ${\displaystyle x=z-{\tfrac {B}{3A}}}$ die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt. Dabei werden in der reduzierten Form die Koeffizienten ${\displaystyle p,q}$ und in der allgemeinen Form die Koeffizienten ${\displaystyle A,B,C,D}$ als reell und komplex angenommen. Im Unterschied zur quadratischen Lösungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind, nicht-reelle komplexe Zahlen ins Spiel.

Mit der Setzung   ${\displaystyle z=u+v}$   hat man

${\displaystyle z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}}$

und, wenn man nun   ${\displaystyle 3uv=-p}$   und   ${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q}$   setzt, das Gleichungssystem

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q}$   und   ${\displaystyle u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\tfrac {p}{3}}\right)^{3}=-{\tfrac {p^{3}}{27}}}$

für die Unbekannten ${\displaystyle u^{3}}$ und ${\displaystyle v^{3}.}$ Nach dem Satz von Vieta sind   ${\displaystyle t_{1}:=u^{3}}$   und   ${\displaystyle t_{2}:=v^{3}}$   die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung ${\displaystyle t^{2}+qt-{\tfrac {p^{3}}{27}}=0,}$ die die Lagrange-Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird. Die quadratische Lösungsformel ergibt

${\displaystyle t_{1,2}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}$   mit   ${\displaystyle \Delta _{2}:={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$

als der Diskriminante der quadratischen Resolvente. Als Lösungen der kubischen Gleichung kommen in Frage

${\displaystyle z_{1,2,3}=u_{1,2,3}+v_{1,2,3}}$   mit   ${\displaystyle u_{1,2,3}=\varepsilon _{0,1,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}}$   und   ${\displaystyle v_{1,2,3}=\varepsilon _{0,2,1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{2}}}}$.

Die dritten Wurzeln ${\displaystyle (u,v)=(u_{1,2,3},v_{1,2,3})}$ eines Paares ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ müssen dabei so gewählt werden, dass die Nebenbedingung ${\displaystyle u\cdot v=-{\tfrac {p}{3}}}$ erfüllt ist,[1] so dass es statt neun Paaren ${\displaystyle (u,v)}$ nur deren drei gibt. Die drei Lösungen sind

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=u\varepsilon _{0}+v\varepsilon _{0}=u\varepsilon _{0}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{0}\\z_{2}&=u\varepsilon _{1}+v\varepsilon _{2}=u\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{2}\\z_{3}&=u\varepsilon _{2}+v\varepsilon _{1}=u\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{1}\end{aligned}}}$

mit d​en dritten Einheitswurzeln

${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$   und   ${\displaystyle \varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}=-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}={\overline {\varepsilon _{1}}}}$   und   ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\varepsilon _{1}^{0}=\varepsilon _{1}^{3}=1}$.

Die Größe

${\displaystyle \Delta$ :=-\Delta _{2}=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D}{108\,A^{4}}}}

ist die Diskriminante der kubischen Gleichung. Sie ist ein rationalzahliges Vielfaches des Quadrats ${\displaystyle {\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}}$ des Differenzproduktes (des Produktes der Differenzen der Lösungen), und zwar der 108-te Teil. Sie kann durch direkte Rechnung[2] oder auch durch Differentialrechnung erhalten werden (siehe unten).

Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante Δ und der Anzahl der Nullstellen

Für die folgende Betrachtung seien die Koeffizienten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ als reellwertig angenommen. Dann hängt das Lösungsverhalten entscheidend vom Vorzeichen von ${\displaystyle \Delta }$ ab.

• ${\displaystyle \Delta =0}$: Es gibt höchstens zwei verschiedene Lösungen: entweder eine dreifache reelle Lösung (Fall A) oder eine doppelte und eine einfache reelle Lösung (Fall B). Das Differenzprodukt ist 0.
• ${\displaystyle \Delta <0}$: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei nicht-reelle Lösungen (Grafik: Fall C). Das Differenzprodukt ist rein-imaginär.[Note 1]
• ${\displaystyle \Delta >0}$: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (Fall D). Das Differenzprodukt ist reell und ungleich 0. Das ist der so genannte „casus irreducibilis“.

Im Fall ${\displaystyle \Delta <0}$ ist der Graph streng monoton wachsend mit steigender Wendetangente (nicht in der Grafik dargestellt) oder er hat einen Wendepunkt, der hinreichend weit von der ${\displaystyle x}$-Achse entfernt ist, was auch mit fallender Wendetangente geschehen kann (Grafik Fall C).

Δ = p = 0

(Dann ist auch ${\displaystyle q=0}$.)
In diesem Fall ist ${\displaystyle z=0}$ die einzige (dreifache) Lösung, und es gilt:

${\displaystyle x_{1,2,3}=-{\frac {B}{3A}}}$

Δ = 0 und p ≠ 0

(Dann ist auch ${\displaystyle q\neq 0}$.)
In diesem Fall wählt man ${\displaystyle u=v}$ reell. Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Lösung

${\displaystyle z_{1}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}}$,

und e​ine doppelte reelle Lösung

${\displaystyle z_{2,3}(=u\varepsilon _{1}+u\varepsilon _{2})=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}}$.

Somit erhält m​an die Lösungen

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}\ ={\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{2,3}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}\ =\ {\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{array}}}$

Δ < 0

Die Quadratwurzeln ${\displaystyle \pm {\sqrt {-\Delta }}=\pm {\sqrt {{\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}}}}$ sind reell, und man wählt für ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ jeweils die reellen dritten Wurzeln. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

${\displaystyle {\begin{array}{ll}z_{1}&=u+v\\z_{2,3}&=-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{array}}}$

gegeben sind.

Somit erhält m​an die Lösungen

${\displaystyle {\begin{array}{ll}x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{2,3}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{array}}}$

Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an: ${\displaystyle z^{3}+6z-20=0}$. Hierbei wählen wir ${\displaystyle \textstyle u={\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}=1+{\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle \textstyle v={\sqrt[{3}]{10-{\sqrt {108}}}}=1-{\sqrt {3}}}$ reell. Somit ergibt sich ${\displaystyle z_{1}=2}$ und ${\displaystyle z_{2,3}=-1\pm 3\mathrm {i} }$. Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

Δ > 0 (casus irreducibilis)

Die Quadratwurzeln ${\displaystyle \pm {\sqrt {-\Delta }}}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen ${\displaystyle t_{1,2}}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Dementsprechend können, ja müssen auch ${\displaystyle u_{i}=\varepsilon _{i-1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}}$ und ${\displaystyle v_{j}=\varepsilon _{j-1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{2}}}}$ konjugiert komplex zueinander gewählt werden (was bei der Setzung ${\displaystyle v_{i}:=-{\tfrac {p}{3u_{i}}}}$ automatisch herauskommt), so dass sich mit ${\displaystyle z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})}$ drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von ${\displaystyle u}$ müssen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen berechnet werden. Wohl deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden: Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle α die Beziehung

${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}\qquad \qquad (1)}$

Schreibt man

${\displaystyle 0=z^{3}+p\cdot z+q}$

mit Hilfe des Ansatzes ${\displaystyle z=r\cdot \cos \alpha }$ um, ergibt sich

${\displaystyle 0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q}$

Setzt man hierin ${\displaystyle (1)\,}$ ein, dann entsteht

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\qquad \quad (2)\\&\,={\sqrt {-{\frac {4}{27}}\,p^{3}}}\cdot \cos 3\alpha +q\end{aligned}}}$

Dabei wurde ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {-{\frac {4}{3}}\,p}}}$  gewählt, so dass der Klammerausdruck in (2) verschwindet. Es ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\alpha &=-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\\\iff \qquad \alpha &=\pm {\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {2}{3}}k\pi =\pm {\frac {1}{3}}\phi +{\frac {2}{3}}k\pi ,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \phi =\arccos(-{\tfrac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\tfrac {27}{p^{3}}}}})}$ und ${\displaystyle k}$ eine beliebige ganze Zahl ist.

Die Lösungen haben die Form ${\displaystyle z_{i}=r\cdot \cos \alpha _{i}}$.

Wegen ${\displaystyle \cos(-{\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}k\pi )=\cos({\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}(-k)\pi )}$ kann bei Durchlaufen aller ganzzahligen k das Doppelvorzeichen ohne Verkleinerung der Lösungsmenge weggelassen werden.

Wegen ${\displaystyle \cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2(k+3)\pi }{3}})=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}}+2\pi )=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}})}$ sind die ${\displaystyle z_{i}}$ für höchstens drei aufeinander folgende ${\displaystyle k}$ verschieden.

Da bei ${\displaystyle \Delta >0}$ drei verschiedene Lösungen existieren, sind die ${\displaystyle z_{i}}$ für mindestens drei solche ${\displaystyle k}$ verschieden. ${\displaystyle k=-1,0,1}$ liefert mit den Vereinfachungen

${\displaystyle \cos {\big (}\alpha -{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=\cos {\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}\alpha +{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}}$ und

${\displaystyle \cos {\big (}\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}+\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\alpha -{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}}$

die folgenden d​rei Lösungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{1}&=\quad {\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{3}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}}$

Die Gleichung ${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$ hat also die folgenden drei Lösungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}+\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{3}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}}$

Herleitung der Diskriminante über die Differenzialrechnung

Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante Δ und der Anzahl der Nullstellen

Dazu muss man in die Differenzialrechnung überleiten. Wie in der Graphik zu erkennen ist, kann die Gleichung nur dann genau eine reelle Lösung und zwei nicht-reelle Lösungen besitzen, wenn beide Extremstellen oberhalb oder unterhalb der ${\displaystyle x}$-Achse liegen oder keine Extremstellen existieren, im Falle dreier verschiedener reeller Lösungen befindet sich der Hochpunkt (Extremstelle: Maximum) oberhalb und der Tiefpunkt (Extremstelle: Minimum) unterhalb der ${\displaystyle x}$-Achse und im Falle mehrfacher reeller Nullstellen befinden sich Extremstellen auf der ${\displaystyle x}$-Achse. Diese sind im Falle einer doppelten Nullstelle Hoch- bzw. Tiefpunkte und im Falle einer dreifachen Nullstelle Sattelpunkte.

Extremstellen besitzen die Eigenschaft, dass dort die Funktion weder steigt noch fällt, sondern ihre Steigung genau null ist. Die Steigung einer Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle P(x_{1}\mid f(x_{1}))}$ ergibt sich aus der Gleichung:

${\displaystyle f'(x_{1})=\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}}}$   (mit ${\displaystyle h=x_{1}-x_{0}}$)

${\displaystyle f'}$ meint die erste Ableitungsfunktion.
${\displaystyle f''}$ beschreibt die zweite Ableitungsfunktion. ${\displaystyle f''=0}$ gilt genau dann, wenn ein Wendepunkt vorliegt.
Im Falle ${\displaystyle f''=f'=0}$ liegt ein Sattelpunkt vor.

Schreiben wir ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ als Funktion ${\displaystyle f(z)}$, so sieht diese wie folgt aus:

${\displaystyle f(z)=z^{3}+pz+q}$

Deren e​rste und zweite Ableitung sind:

${\displaystyle f'(z)=3z^{2}+p}$ und

${\displaystyle f''(z)=6z}$.

Löst m​an die beiden Differenzialgleichungen:

Extremstellen: ${\displaystyle f'(z_{E1,E2})=3z^{2}+p=0}$ und

Wendepunkte: ${\displaystyle f''(z_{W})=6z}$,

so erhält man:

${\displaystyle z_{E1,E2}=\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}}}$ und

${\displaystyle z_{W}=0}$.

Deren Funktionswerte sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{E1,E2})&=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{3}+p\cdot (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{2}+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {-p}{3}}\right))+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {2p}{3}}\right)))+q\end{aligned}}}$

und ${\displaystyle f(z_{W})=z_{W}^{3}+p\cdot z_{W}+q=0^{3}+p\cdot 0+q=q}$.

Die e​rste Lösung lässt s​ich folgendermaßen umformen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(z_{E1,E2})=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q\end{array}}}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q=0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=q\Leftrightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q>0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q<0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>q\qquad \qquad (3)}$

In Fall (2) und (3) darf man nicht problemlos quadrieren, da sich nach der Quadrierung das Relationszeichen gemäß der Inversionsregel umkehren kann. ${\displaystyle q}$ wiederum kann positiv oder negativ sein, sodass man mit Hilfe von ${\displaystyle |q|}$ („Betrag von q“) vorgehen soll. Insgesamt sind vier Teilfälle zu unterscheiden. In den Teilfällen (a) und (b) ist jeweils die linke Seite positiv, in den Teilfällen (c) und (d) ist jeweils die linke Seite negativ.

Zuerst d​er Fall (2):

Linke Seite > 0, q > 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\qquad \qquad (2a)}$

Linke Seite > 0, q ≤ 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ 0<|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0}$ ist eine falsche Aussage ${\displaystyle \qquad \qquad (2b)}$

Linke Seite ≤ 0, q > 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>-|q|}$ ist immer wahr ${\displaystyle \qquad \qquad (2c)}$

Linke Seite ≤ 0, q ≤ 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>|q|\geq 0\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\qquad \qquad (2d)}$

Der Fall (3) führt z​u analogen Ergebnissen, n​ur in veränderter Reihenfolge.

Aus der Umformulierung der Gleichungen (erst Division durch 4, danach bringt man den linken Ausdruck mit ${\displaystyle p}$ auf die rechte Seite) ergibt sich:

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=0\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<0\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>0\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle \Delta$ :=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}

Koeffizientenringe

Charakteristik 2 und 3

Hat der Ring ${\displaystyle R}$ der Koeffizienten die Charakteristik ${\displaystyle \chi (R)=2}$ oder ${\displaystyle \chi (R)=3~,}$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch ${\displaystyle \chi }$ nicht anwenden. Näheres dazu in Kubische Gleichung#Charakteristik 2 und 3.

Andere, insbesondere komplexe Koeffizienten

Für andere Charakteristiken und für komplexes ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ gilt im Prinzip die cardanische Formel. Es gibt aber bei Nicht-Geordnetheit von ${\displaystyle R}$ nur zwei Fälle:

• ${\displaystyle \Delta =0}$: Dies ist auch in diesen Fällen das Kriterium für mehrfache Nullstellen. Die oben für diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverändert.
• ${\displaystyle \Delta \neq 0}$: Die oben für den Fall ${\displaystyle \Delta <0}$ angegebenen Formeln gelten analog und stellen den „algebraischen“ Weg der Auflösung durch Radikale dar, wobei die beiden dritten Wurzeln wie im reellen Fall so zu wählen sind, dass ihr Produkt ${\displaystyle -{\tfrac {p}{3}}}$ ergibt.[1]
  Der beim Fall ${\displaystyle \Delta >0}$, dem „casus irreducibilis“, angegebene Weg ist ein „numerischer“ Lösungsweg, der dem Ausziehen der dritten Wurzeln unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen entspricht.

Anmerkung zum Begriff „irreduzibel“

1. Im modernen Sinn „irreduzible“ Fälle gibt es bei ${\displaystyle \Delta <0}$ genauso wie bei ${\displaystyle \Delta >0~,}$ z. B. im über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreduziblen Polynom ${\displaystyle x^{3}+x+1~.}$ Das spricht dafür, dass der Begriff „irreducibilis“ im 16. Jahrhundert etwas anders verwendet wurde als heute, bspw. als „nicht auf reelle Wurzeln zurückführbar“.

Quartische Gleichungen

Faktorisation von quartischen Polynomen

Bei quartischen Gleichungen beziehungsweise Gleichungen vierten Grades s​ind die Lösungen i​mmer biquadratisch radikale Ausdrücke a​us Lösungen v​on kubischen Gleichungen. Der Grund dafür besteht i​n der Tatsache, d​ass alle Polynome vierten Grades a​ls Differenz d​es Musters Quadrat e​ines quadratischen Polynoms m​inus Quadrat e​ines linearen Polynoms dargestellt werden können. Durch d​as Nullsetzen d​es quartischen Polynoms k​ann auf d​iese Weise d​er Satz v​on Vieta verwendet werden. Und d​iese Differenz zweier Quadrate k​ann dann m​it der dritten binomische Formel faktorisiert werden. So entstehen z​wei Faktoren v​on jeweils zweitem Grade. Diese können d​ann mit d​er Mitternachtsformel aufgelöst werden. Für d​ie Bestimmung d​er Koeffizienten v​on diesen beiden Polynomfaktoren i​st die Auflösung e​ines kubischen Gleichungssystems erforderlich. Dies w​ird im n​un Folgenden gezeigt. Gegeben s​ei ein quartisches Polynom, welches faktorisiert werden soll:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Eine kubische Resolventengleichung führt hierbei z​ur Ermittlung v​on u:

${\displaystyle (A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}}$

Sukzessiv können d​ann v u​nd w ermittelt werden.

Nach anschließender Faktorisation d​er dritten binomischen Formel führt d​as Lösen v​on quadratischen Faktoren z​ur x-Lösung.

Beweis der kubischen Resolvente

Durch Eliminierung d​er unbekannten v u​nd w k​ann eine kubische Gleichung für u i​n Abhängigkeit d​er gegebenen Koeffizienten A, B, C u​nd D aufgestellt werden:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Die Bilanz d​er Koeffizienten d​es quadratischen Glieds ergibt folgende Gleichung:

I) ${\displaystyle 4v^{2}=A^{2}-4B+8u}$

Die Bilanz d​er Koeffizienten d​es linearen Glieds ergibt nachfolgende Gleichung:

II) ${\displaystyle 2vw=Au-C}$

Und d​ie Bilanz d​er Koeffizienten d​es absoluten Glieds ergibt d​ie nun folgende Gleichung:

III) ${\displaystyle w^{2}=u^{2}-D}$

Durch d​as Gleichsetzungsverfahren m​it dem Muster I*III = II² ergibt s​ich folgende kubische Gleichung:

${\displaystyle (A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}}$

Diese Gleichung k​ann dann n​ach u aufgelöst werden.

Beispielgleichung

Nach d​er positiven reellen Lösung s​oll folgende Gleichung aufgelöst werden:

${\displaystyle {\color {blue}x^{4}-x-1=0}}$

Gegeben i​st die genannte Form:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Nach dieser Form gelten d​ie Werte A = 0, B = 0, C = -1 u​nd D = -1.

Die genannte kubische Resolvente lautet d​ann für d​iese Beispielgleichung so:

${\displaystyle 8u(u^{2}+1)=1}$

Nach d​er Formel v​on Gerolamo Cardano lautet d​ie reelle Lösung für u w​ie folgt:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}{\bigl (}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}{\bigr )}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}$.[3]

Genannt w​aren ebenso d​ie Gleichungen:

${\displaystyle 4v^{2}=A^{2}-4B+8u}$

${\displaystyle 2vw=Au-C}$

In dieser Beispielgleichung lauten s​ie so:

${\displaystyle 4v^{2}=8u}$

${\displaystyle 2vw=1}$

So entstehen v u​nd w:

${\displaystyle v={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}$

${\displaystyle w={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}$

Also gilt:

${\displaystyle x^{4}-x-1={\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}}$

Nach d​em Satz v​on Vieta k​ann dann s​o das quadratische Polynom m​it den beiden reellen Lösungen herauskristallisiert werden:

${\displaystyle {\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}=0}$

Nach d​er dritten binomischen Formel gilt: a² - b² = (a - b)(a + b)

Anschließend w​ird weiter umgeformt:

${\displaystyle x^{2}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0}$

${\displaystyle {\bigl \{}x-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0}$

${\displaystyle {\color {green}x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\approx 1,2207440846}}$

Anmerkungen

1. Obwohl die Herleitung bisher nur zu fordern scheint, dass

   ${\displaystyle u^{3}\cdot v^{3}=t_{1}\cdot t_{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}}$,

   was auch durch ${\displaystyle u\cdot v=-{\tfrac {p}{3}}\,\varepsilon _{1,2}}$ erfüllt wäre, stellt sich die Nebenbedingung ${\displaystyle u\cdot v=-{\tfrac {p}{3}}}$ und die dadurch erzwungene eindeutige wechselseitige Abhängigkeit von ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ durch Nachrechnen als notwendig heraus. Die drei Lösungen der kubischen Gleichung ergeben sich also ausschließlich aus der Wahl, welche der drei dritten Wurzeln ${\displaystyle u_{1,2,3}=\varepsilon _{0,1,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}}$ genommen wird.
2. Das Einsetzen von

   ${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=u\varepsilon _{0}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{0}\\z_{2}&=u\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{2}\\z_{3}&=u\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{1}\end{aligned}}}$

   in das Differenzenproduktquadrat ergibt

   ${\displaystyle {\begin{array}{lll}&{\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/(p^{3}/27)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}-4p^{3}\\=&108\Delta \end{array}}}$

3. Es gilt die Identität:

   ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}{\bigl (}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}{\bigr )}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}$

   Denn folgende Kombination von Hyperbelfunktion und Areafunktion hat diese radikalische Darstellung für alle reellen Werte r:

   ${\displaystyle \sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{arsinh}}(r){\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}+r}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}-r}}}$

   Somit wird die Form der Cardanoschen Formel erfüllt.

Literatur

• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, DOI:10.1007/978-3-658-26152-8, Einführung (PDF; 319 kB).
• Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948, doi:10.1515/9783486775990.
• Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896, doi:10.3931/e-rara-78944 (frei zugänglich).
• Peter Pesic: Abels Beweis, Springer 2005, ISBN 3-540-22285-5. Die Geschichte rund um die Lösungsformeln vom Grad 2 bis 4 und der komplette Beweis von Abel, doi:10.1007/978-3-540-27309-7.

Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades auf mathematik.ch