Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren k​ann zum Lösen v​on Gleichungssystemen genutzt werden. Es i​st bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden z​wei Gleichungen s​o umgestellt, d​ass ihre linken Seiten identisch s​ind und n​ur eine Variable enthalten, d​ie auf d​en rechten Seiten n​icht vorhanden ist. Anschließend werden d​ie beiden rechten Seiten gleichgesetzt, d​amit die n​eu entstehende Gleichung v​on einer Variablen weniger abhängt.

Beispiel

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&x+y&=&3\\&(2)&x\cdot y&=&2\end{aligned}}}$

Umstellen

Die Gleichungen stellt man nach einer Variablen um, hier nach ${\displaystyle x}$. So erhält man folgende Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1')&x&=&3-y\\&(2')&x&=&{\frac {2}{y}}\end{aligned}}}$

Gleichsetzen

Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Unbekannte ${\displaystyle y}$ enthält:

${\displaystyle {\begin{aligned}3-y&={\frac {2}{y}}\end{aligned}}}$

Bestimmen der y-Werte

${\displaystyle {\begin{aligned}3-y&={\frac {2}{y}}&|&\cdot y\\y(3-y)&=2&|&{\text{ Klammer aufl}}{\ddot {\mathrm {o} }}{\text{sen}}\\3y-y^{2}&=2&|&-3y\\-y^{2}&=2-3y&|&+y^{2}\\0&=y^{2}-3y+2&|&{\text{ quadratische Gleichung in der Normalform}}\rightarrow {\text{L}}{\ddot {\mathrm {o} }}{\text{sen}}\\y_{1}&=1&&\\y_{2}&=2&&\end{aligned}}}$

Man erhält hier zwei Lösungen für ${\displaystyle y}$, was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare ${\displaystyle (x\,|\,y)}$ haben kann.

Bestimmen der x-Werte

Die Lösungen für ${\displaystyle y}$ setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}\colon \quad &x_{1}&=&3-y_{1}\\&x_{1}&=&3-1\\&x_{1}&=&2\\y_{2}\colon \quad &x_{2}&=&3-y_{2}\\&x_{2}&=&3-2\\&x_{2}&=&1\\\end{aligned}}}$

Zusammenfassung

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen ${\displaystyle (x\,|\,y)}$:

${\displaystyle \mathbb {L} =\{(2\,|\,1),(1\,|\,2)\}}$

Siehe auch

• Einsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Weblinks

• Das Gleichsetzungsverfahren (Memento vom 25. März 2010 im Internet Archive) im Online-Mathematikbuch.