Bruhat-Zerlegung

Die Bruhat-Zerlegung i​st eine fundamentale Methode a​us der Theorie d​er algebraischen Gruppen. Sie verallgemeinert d​ie aus d​em Gaußschen Eliminationsverfahren bekannte Tatsache, d​ass jede Matrix a​ls Produkt e​iner oberen u​nd unteren Dreiecksmatrix zerlegt werden kann. Benannt i​st die Methode n​ach François Bruhat.

Bruhat-Zerlegung

Es sei ${\displaystyle G}$ eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle B}$ eine Borel-Untergruppe und ${\displaystyle W}$ die Weyl-Gruppe von ${\displaystyle G}$.

Dann h​at man e​ine als Bruhat-Zerlegung bezeichnete Zerlegung

${\displaystyle G=BWB:=\coprod _{w\in W}BwB}$

von ${\displaystyle G}$ als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen von ${\displaystyle B}$ parametrisiert durch die Elemente der Weyl-Gruppe ${\displaystyle W}$.

Projektive Geometrie

Die Doppelnebenklassen ${\displaystyle B\backslash G/B}$ entsprechen den Nebenklassen ${\displaystyle G\backslash (G/B\times G/B)}$. Aus der Bruhat-Zerlegung folgt also, dass die Weyl-Gruppe die Paare von Elementen der Fahnenvarietät modulo der Wirkung von ${\displaystyle G}$ parametrisiert.

Im Fall der projektiven linearen Gruppe ${\displaystyle PGL(n,K)}$ ist ${\displaystyle G/B}$ die Fahnenmannigfaltigkeit und aus der Bruhat-Zerlegung folgt also, dass es modulo der Wirkung von ${\displaystyle PGL(n,K)}$ genau ${\displaystyle n!}$ Paare vollständiger Fahnen gibt.

Beispiel

Sei ${\displaystyle G=PGL(2,\mathbb {C} )}$ die projektive lineare Gruppe der komplexen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen. Dann besteht die Weyl-Gruppe aus zwei Elementen, die durch die Matrizen ${\displaystyle E=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$ und ${\displaystyle w_{0}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$ repräsentiert werden. Jede ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix ist also ein Vielfaches einer Matrix, die entweder von der Form ${\displaystyle LR}$ oder von der Form ${\displaystyle Lw_{0}R}$ jeweils mit Dreiecksmatrizen ${\displaystyle L,R}$ ist. Wegen ${\displaystyle G/B=P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{2}\setminus \left\{0\right\}/\mathbb {C} ^{*}}$ ist dann jedes Paar ${\displaystyle (\left[v\right],\left[w\right])\in P^{1}\mathbb {C} \times P^{1}\mathbb {C} }$ entweder im ${\displaystyle PGL(2,\mathbb {C} )}$-Orbit von ${\displaystyle (\left[e_{1}\right],\left[e_{1}\right])}$ oder von ${\displaystyle (\left[e_{1}\right],\left[e_{2}\right])}$, wobei der erste Fall genau dann eintritt, wenn ${\displaystyle w=\lambda v}$ mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ist.

Generische Matrizen

Generische Elemente in algebraischen Gruppen

Ein Element ${\displaystyle g\in G}$ heißt generisch, wenn seine Bruhat-Zerlegung von der Form

${\displaystyle g=b_{1}w_{0}b_{2}}$

mit ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$ beliebig und ${\displaystyle w_{0}}$ dem längsten Element in der Weyl-Gruppe ${\displaystyle W}$ ist.

Generische Elemente in GL(n,C)

Eine (reelle oder komplexe) ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}}$ ist generisch, wenn für alle ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ die Minoren ${\displaystyle \det \left(A_{\left\{k,\ldots ,n\right\},\left\{1,\ldots ,n-k+1\right\}}\right)}$ die Bedingung

${\displaystyle \det \left(A_{\left\{k,\ldots ,n\right\},\left\{1,\ldots ,n-k+1\right\}}\right)\neq 0}$

erfüllen.

Normalform generischer Matrizen

Jede generische Matrix ${\displaystyle A\in GL(n,\mathbb {C} )}$ lässt sich auf eindeutige Weise als

${\displaystyle A=xqy^{-1}}$

mit oberen Dreiecksmatrizen ${\displaystyle x,y}$ und einer Antidiagonalmatrix ${\displaystyle q}$ zerlegen. Die Einträge von ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle q}$ sind gegeben durch

${\displaystyle q_{n,1}=a_{n,1}}$

${\displaystyle q_{n-j+1,j}=(-1)^{j-1}{\frac {\det(A_{\left\{n-j+1,\ldots ,n\right\}\left\{1,\ldots ,j\right\}})}{\det(A_{\left\{n-j+2,\ldots ,n\right\}\left\{1\,\ldots ,j-1\right\}})}}}$     für ${\displaystyle 1<j\leq n}$

${\displaystyle x_{ij}={\frac {\det A_{\left\{i,j+1,\ldots ,n\right\}\left\{1\,\ldots ,n-j+1\right\}})}{\det A_{\left\{j\,\ldots ,n\right\}\left\{1\,\ldots ,n-j+1\right\}})}}}$     für ${\displaystyle j>i}$

${\displaystyle y_{ij}=(-1)^{i+j}{\frac {\det(A_{\{n-j+2\,\ldots ,n\}\{1\,\ldots ,{\hat {i}},\ldots ,j\}})}{\det(A_{\left\{n-j+2\,\ldots ,n\right\}\left\{1\,\ldots ,j-1\right\}})}}}$     für ${\displaystyle j>i}$,

wobei die Hütchennotation ${\displaystyle {\hat {i}}}$ für das Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile bzw. Spalte steht.[1]

Literatur

• Armand Borel. Linear Algebraic Groups (2nd ed.). New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97370-2.
• Nicolas Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6 (Elements of Mathematics), Springer-Verlag, 2008. ISBN 3-540-42650-7

Weblinks

• George Lusztig: Bruhat decomposition and applications (Überblick zu Geschichte und Anwendungen der Bruhat-Zerlegung)
• Bruhat decomposition (nLab)

Einzelnachweise

1. Kapitel 9 in: S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert, The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds, Duke Math. J., Volume 164, Number 11 (2015), 2099–2160. online (ArXiv)