Bond-Zahl

Die Bond-Zahl (Formelzeichen: ${\displaystyle {\mathit {Bo}}}$, nach dem englischen Physiker Wilfrid Noel Bond (1897–1937)[1][2]) oder Eötvös-Zahl (${\displaystyle {\mathit {Eo}}}$, nach dem ungarischen Mathematiker und Geophysiker Loránd Eötvös) ist eine dimensionslose Kennzahl der Fluidmechanik. Sie kann physikalisch interpretiert werden als das Verhältnis der Volumenkraft, die auf die Flüssigkeit wirkt, zur Kraft aufgrund von Oberflächenspannung:

${\displaystyle {\mathit {Bo}}={\frac {F_{\text{Volumen}}}{F_{\text{Oberfläche}}}}}$

Physikalische Kennzahl
Name	Bond-Zahl, Eötvös-Zahl
Formelzeichen	${\displaystyle {\mathit {Bo}},{\mathit {Eo}}}$
Dimension	dimensionslos
Definition	${\displaystyle {\mathit {Bo}}={\frac {f\,L^{2}}{\sigma }}}$
${\displaystyle f}$ Kraftdichte der Volumenkraft ${\displaystyle L}$ charakteristische Länge ${\displaystyle \sigma }$ Oberflächenspannung
Benannt nach	Wilfrid Noel Bond, Loránd Eötvös
Anwendungsbereich	Phasengrenzflächen von Fluiden

Die Bezeichnung Eötvös-Zahl k​ann verwendet werden

• als Synonym zu Bond-Zahl[1]
• als Spezialfall der Bond-Zahl im Fall von Auftrieb[3] oder
• als Verallgemeinerung der Bond-Zahl für beliebige charakteristische Parameter ${\displaystyle L}$.[4]

Ähnlich w​ie die Reynolds-Zahl eignet s​ich die Bond-Zahl z​um Vergleich v​on Systemen, d​ie sich i​n einzelnen Parametern w​ie Dichte, Größe o​der Oberflächenspannung unterscheiden. Im Gegensatz z​ur Reynoldszahl, d​ie bei Strömungen Anwendung findet, charakterisiert d​ie Bondzahl jedoch statische Systeme. Ein kleiner Wert bedeutet, d​ass das System v​on der Oberflächenspannung bestimmt wird, e​in großer Wert dagegen, d​ass die Oberflächenspannung z​ur Abschätzung d​es Verhaltens vernachlässigt werden kann. Zusammen m​it der Morton-Zahl beschreibt d​ie Bond-Zahl s​o beispielsweise d​ie Form e​ines fluiden Partikels (Luftblase, Wassertropfen etc.) u​nter dem Einfluss d​er Gravitation.

Spezialfall: Gravitation als Volumenkraft

Ist d​ie Volumenkraft d​urch die Gravitation gegeben, s​o wird d​ie Bond-Zahl folgendermaßen gebildet:

${\displaystyle {\mathit {Bo}}={\frac {\text{Gravitationskraft}}{\mathrm {Oberfl{\ddot {a}}chenkraft} }}={\frac {\text{hydrostatischer Druck}}{\text{Kapillardruck}}}={\frac {\rho \cdot g\cdot H\cdot R}{2\sigma }}}$

Dabei beschreibt

• ${\displaystyle H}$ die vertikale Höhe
• ${\displaystyle R}$ den für den Kapillardruck verantwortlichen Radius z. B. eines Tropfens. Beide müssen nicht identisch sein, so dass oft zwei Längenskalen in die Bond-Zahl eingehen (z. B. vertikale Kapillare: Füllhöhe ${\displaystyle H}$, Radius ${\displaystyle R}$).

Weiterhin ist

• ${\displaystyle \rho }$ die Dichte
• ${\displaystyle g}$ die Schwerebeschleunigung
• ${\displaystyle \sigma }$ die Oberflächenspannung.

Im Fall, dass der Auftrieb nicht vernachlässigt werden kann oder überwiegt, beispielsweise eine Luftblase im Wasser, muss die Volumenkraft aus der Differenz ${\displaystyle \Delta \rho }$ der Dichten beider Phasen, hier Wasser und Luft berechnet werden:

${\displaystyle {\mathit {Bo}}={\frac {\Delta \rho \cdot g\cdot R^{2}}{\sigma }}}$

Beispiel: Ein Tropfen

Form von Regentropfen in Abhängigkeit von ihrer Größe

Bei einem Tropfen Flüssigkeit auf einer ebenen, waagerechten Fläche erlaubt die Bond-Zahl eine Vorhersage über die Form, die er annimmt. In diesem Fall bestimmt sich die Bond-Zahl mit dem charakteristischen Radius ${\displaystyle R}$ wie folgt:

${\displaystyle {\mathit {Bo}}={\frac {\rho gR^{2}}{\sigma }}}$

Der Radius geht in diesem Fall maximal doppelt in die Gewichtskraft ein (${\displaystyle H=2R}$) und ist für den Kapillardruck verantwortlich. Im Gegensatz zur Morton-Zahl, welche nur von den Eigenschaften des Fluids abhängt, ändert sich die Bond-Zahl mit dem Radius des Tropfens.

Wenn ${\displaystyle {\mathit {Bo}}}$ sehr viel kleiner als eins ist, spielt die Gravitation keine Rolle, und der Tropfen ist in guter Näherung kugelförmig. Bei größeren Werten von ${\displaystyle {\mathit {Bo}}}$ ist sie ellipsenförmig und bei niedriger Morton-Zahl (meist bei Flüssigkeiten geringer Viskosität, beispielsweise Wasser) eher wackelig. Bei noch größeren Bond-Zahlen nimmt der Tropfen die Form einer runden Kappe an, welche sich bei Regentropfen schließlich in zwei kleinere Tropfen aufteilt.[5]

Einzelnachweise

1. Josef Kunes: Dimensionless Physical Quantities in Science and Engineering. Elsevier, 2012, ISBN 0-12-391458-2, S. 95 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Willi H. Hager: Wilfrid Noel Bond and the Bond number. In: Journal of Hydraulic Research. Band 50, Nr. 1, S. 3–9, doi:10.1080/00221686.2011.649839.
3. R. Schmel: Dissertation: Tropfendeformation und Nachzerfall bei der technischen Gemischaufbereitung. In: Forschungsbericht des ITS. Band 23. LOGOS-Verlag, 2004, ISBN 3-8325-0707-8, S. 53 (kit.edu).
4. Satish Kandlikar, Srinivas Garimella, Dongqing Li, Stephane Colin, Michael R. King: Heat Transfer and Fluid Flow in Minichannels and Microchannels. Butterworth-Heinemann, 2013, ISBN 0-08-098351-0, S. 229 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
5. C.B. Jenssen et al.: Parallel Computational Fluid Dynamics 2000: Trends and Applications. Gulf Professional Publishing, 2001, ISBN 0-08-053840-1, S. 80 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).