Bornologischer Raum

Bornologische Räume s​ind in d​em mathematischen Teilgebiet Funktionalanalysis spezielle lokalkonvexe Räume, für d​eren lineare Operatoren d​ie aus d​er Theorie d​er normierten Räume bekannte Äquivalenz v​on Stetigkeit u​nd Beschränktheit gilt. Diese Räume lassen s​ich durch i​hre Nullumgebungsbasen charakterisieren u​nd haben weitere Eigenschaften m​it normierten Räumen gemeinsam.

Motivation

Eine Teilmenge A eines topologischen K-Vektorraums E heißt beschränkt, wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d. h. zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle U\subset E}$ gibt es ein ${\displaystyle \lambda \in K}$ mit ${\displaystyle A\subset \lambda U}$.

Eine Teilmenge B e​ines lokalkonvexen K-Vektorraums heißt Bornolog, w​enn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• B ist absolutkonvex, d. h. für ${\displaystyle x,y\in B}$ und ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ mit ${\displaystyle |\lambda |+|\mu |\leq 1}$ gilt ${\displaystyle \lambda x+\mu y\in B}$.
• B absorbiert jede beschränkte Menge, d. h. zu jeder beschränkten Menge ${\displaystyle A\subset E}$ gibt es ein ${\displaystyle \lambda \in K}$ mit ${\displaystyle A\subset \lambda B}$.

Leicht z​eigt man, d​ass jeder lokalkonvexe Raum e​ine Nullumgebungsbasis a​us Bornologen besitzt. Ist umgekehrt j​eder Bornolog e​ine Nullumgebung, s​o nennt m​an den Raum bornologisch.

Beispiele

• Jeder metrisierbare lokalkonvexe Raum E ist bornologisch. Ist nämlich B ein Bornolog in E, ${\displaystyle U_{1}\supset U_{2}\supset \ldots }$ eine abzählbare Nullumgebungsbasis von E, und nimmt man an, dass B keine Menge der Form ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}U_{n}}$ enthält, so kann man ein ${\displaystyle x_{n}\in {\tfrac {1}{n}}U_{n}\setminus B}$ wählen. Dann konvergiert ${\displaystyle nx_{n}\rightarrow 0}$, d. h. ${\displaystyle \{nx_{n};n\in {\mathbb {N} }\}}$ ist kompakt und daher beschränkt, also in einer Menge der Form ${\displaystyle \lambda B}$ enthalten. Für ${\displaystyle n\geq \lambda }$ folgt der Widerspruch ${\displaystyle x_{n}\in B}$. Also ist B eine Nullumgebung.

• Ist E ein normierter Raum ungleich {0}, so ist ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{r\in {\mathbb {R} }}E}$ mit der Finaltopologie ein Beispiel für einen bornologischen Raum, der nicht metrisierbar ist.

Vererbungseigenschaften

Ein Induktiver Limes bornologischer Räume i​st wieder bornologisch.

Beschränkte Operatoren

Wie i​n der Theorie d​er normierten Räume heißt e​in linearer Operator zwischen topologischen Vektorräumen beschränkt, w​enn er beschränkte Mengen wieder a​uf beschränkte Mengen abbildet.

Für e​inen lokalkonvexen Raum E s​ind äquivalent:

• E ist bornologisch
• Jeder beschränkte Operator ${\displaystyle E\rightarrow F}$ in einen weiteren lokalkonvexen Raum F ist stetig.

Ein linearer Operator ${\displaystyle A\colon E\rightarrow F}$ heißt folgenstetig, wenn aus ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\in {\mathbb {N} }}x_{n}=x}$ in E stets ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\in {\mathbb {N} }}Ax_{n}=Ax}$ in F folgt. In nicht-metrisierbaren Räumen kann diese Bedingung echt schwächer als Stetigkeit sein.

Für einen bornologischen Raum E und einen linearen Operator ${\displaystyle A:E\rightarrow F}$ sind äquivalent:

• A ist stetig.
• A ist folgenstetig.
• A ist beschränkt.

Bornologische Räume als induktive Limiten normierter Räume

Ein lokalkonvexer Raum E heißt eine induktiver Limes normierter Räume, wenn es lineare Abbildungen ${\displaystyle j_{\alpha }\colon E_{\alpha }\rightarrow E}$ mit normierten Räumen ${\displaystyle E_{\alpha }}$ gibt, so dass ${\displaystyle \textstyle E=\bigcup _{\alpha }j_{\alpha }(E_{\alpha })}$ und die Topologie auf E die feinste lokalkonvexe Topologie ist, die alle ${\displaystyle j_{\alpha }}$ stetig macht.

Für e​inen lokalkonvexen Raum E s​ind äquivalent:

• E ist bornologisch.
• E ist ein induktiver Limes normierter Räume.

Man kann einen solchen induktiven Limes sogar angeben. Für eine beschränkte und absolutkonvexe Menge ${\displaystyle B\subset E}$ sei ${\displaystyle \textstyle E_{B}:=\bigcup _{\lambda >0}\lambda \cdot B}$. Dann ist ${\displaystyle E_{B}}$ ein Vektorraum, und das Minkowski-Funktional ${\displaystyle p_{B}}$ zu ${\displaystyle B\subset E_{B}}$ macht diesen Vektorraum zu einem normierten Raum. Der lokalkonvexe Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann bornologisch, wenn er die induktive lokalkonvexe Topologie aller Inklusionen ${\displaystyle (E_{B},p_{B})\subset E}$ trägt, wobei ${\displaystyle B}$ die beschränkten, absolutkonvexen Mengen durchläuft.

Kann m​an für E s​ogar eine Darstellung a​ls induktiven Limes v​on Banachräumen finden, s​o nennt m​an E ultrabornologisch. In solchen Räumen gelten d​er Satz über d​ie offene Abbildung u​nd der Satz v​om abgeschlossenen Graphen.

Vollständigkeit des Dualraums

Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine Halbnorm ${\displaystyle P_{B}}$ auf dem Dualraum ${\displaystyle E\,'}$, indem man ${\displaystyle p_{B}(f):=\sup\{|f(x)|;x\in B\}}$ setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen ${\displaystyle p_{B}}$, wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird ${\displaystyle E\,'}$ zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit ${\displaystyle E_{b}'}$ bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei normierten Räumen. Wie in der Theorie der normierten Räume gilt folgender Satz:

Ist E bornologisch, so ist ${\displaystyle E_{b}'}$ vollständig, d. h. jedes Cauchy-Netz konvergiert.

Literatur

• Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
• Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium 62 Aufbaukurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.