Basisartige Kohomologie

In d​er Mathematik i​st die basisartige Kohomologie o​der basische Kohomologie (engl.: basic cohomology) e​ine Kohomologietheorie z​ur Beschreibung v​on Blätterungen, d​ie insbesondere z​ur Untersuchung Riemannscher Blätterungen eingesetzt wird. Der Name bezieht s​ich darauf, d​ass die basisartige Kohomologie d​ie Topologie d​es Raums d​er Blätter beschreibt u​nd insbesondere i​m Fall e​ines Faserbündels m​it der De-Rham-Kohomologie d​es Basisraumes d​es Bündels übereinstimmt. Die Definition g​eht auf Reinhart zurück.[1]

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine ${\displaystyle q}$-dimensionale Blätterung einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Der Komplex der basisartigen Formen ist definiert als Unterkomplex des Komplexes der Differentialformen ${\displaystyle \Omega ^{*}(M)}$ durch

${\displaystyle \Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\left\{\alpha \in \Omega ^{*}(M):i_{X}\alpha =0,i_{X}d\alpha =0\ \forall \ X\in T_{x}{\mathcal {F}},x\in M\right\}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle i_{X}}$ das innere Produkt und ${\displaystyle d}$ die äußere Ableitung.

Die äußere Ableitung ${\displaystyle d}$ bildet ${\displaystyle \Omega ^{q}(M,{\mathcal {F}})}$ auf ${\displaystyle \Omega ^{q+1}(M,{\mathcal {F}})}$ ab. Die basisartige Kohomologie ${\displaystyle H^{*}(M,{\mathcal {F}})}$ ist definiert als die Kohomologie des Komplexes

${\displaystyle (\Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}}),d)}$.

Eigenschaften und Beispiele

• Wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ die Blätterung durch die Fasern eines Faserbündels ${\displaystyle E\rightarrow B}$ ist, dann gilt ${\displaystyle H^{*}(M,{\mathcal {F}})=H^{*}(B;\mathbb {R} )}$.
• Es gilt ${\displaystyle H^{n-q}(M,{\mathcal {F}})\simeq \mathbb {R} }$ genau dann, wenn es auf ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Metrik gibt, für die alle Blätter Minimalflächen sind.[2]
• Poincaré-Dualität hält für die basisartige Kohomologie einer Blätterung nur dann, wenn ${\displaystyle H^{n-q}(M,{\mathcal {F}})\simeq \mathbb {R} }$ gilt, was im Allgemeinen auch für Riemannsche Blätterungen nicht notwendig der Fall ist.
• Für die schwache stabile (oder die schwache instabile) (m+1)-dimensionale Blätterung eines Anosov-Flusses auf einer (2m+1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit gilt ${\displaystyle H^{m+1}(M,{\mathcal {F}})=0}$.
• Die basisartige Kohomologie ist invariant unter ${\displaystyle C^{1}}$-Diffeomorphismen, aber im Allgemeinen nicht unter Homöomorphismen.

Siehe auch

• Blätterungskohomologie

Literatur

• Tondeur, Philippe: Foliations on Riemannian manifolds. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1988. ISBN 0-387-96707-9
• Molino, Pierre: Riemannian foliations. Translated from the French by Grant Cairns. With appendices by Cairns, Y. Carrière, É. Ghys, E. Salem and V. Sergiescu. Progress in Mathematics, 73. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-8176-3370-7

Einzelnachweise

1. Reinhart, Bruce L.: Harmonic integrals on foliated manifolds. Amer. J. Math. 81 (1959), 529–536.
2. Masa, Xosé: Duality and minimality in Riemannian foliations. Comment. Math. Helv. 67 (1992), no. 1, 17–27.