Ampler Divisor

Der Ample Divisor i​st in d​er Mathematik e​in Begriff a​us der algebraischen Geometrie. Die algebraische Geometrie verknüpft d​ie Gleichungen d​er abstrakten Algebra m​it der Geometrie. Divisoren beschreiben d​ie Nullstellen v​on algebraischen Kurven, u​nd etwas vereinfacht s​ind sie ampel, w​enn ihre Basisfunktionen k​eine gemeinsamen Nullstellen haben.

Die amplen Divisoren zeigen, o​b die d​urch Polynome beschriebenen algebraische Kurven a​uf einen projektiven Raum abgebildet werden können.

Definition

Sei ${\displaystyle D}$ ein Divisor auf einer algebraischen Kurve ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$ der Vektorraum derjenigen rationalen Funktionen auf ${\displaystyle C}$, deren Hauptdivisor ${\displaystyle (f)}$ die Ungleichung ${\displaystyle (f)\geq -D}$ erfüllt.

${\displaystyle D}$ heißt sehr ampel, wenn es eine Basis ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$ von ${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$ gibt, so dass die Funktionen ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$ keine gemeinsame Nullstelle auf ${\displaystyle C}$ haben und die Abbildung

${\displaystyle \phi _{D}\colon C\to P^{n-1}}$

${\displaystyle \phi _{d}(P)=\left[f_{0}(P)\colon \ldots \colon f_{n-1}(P)\right]}$

eine Einbettung i​n den projektiven Raum ist.

${\displaystyle D}$ heißt ampel, wenn es eine natürliche Zahl ${\displaystyle l\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass ${\displaystyle lD}$ sehr ampel ist.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle C=P^{1}}$ die projektive Gerade und ${\displaystyle D=2\left[0:1\right]}$. Eine rationale Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle (f)\geq -D}$ darf also nur in ${\displaystyle \left[0:1\right]}$ eine Polstelle haben und dort höchstens vom Grad 2. Damit ist ${\displaystyle f}$ von der Form ${\displaystyle f={\tfrac {p}{x_{0}^{2}}}}$ für ein homogenes Polynom ${\displaystyle p}$ vom Grad 2. Eine Basis des Vektorraums dieser Funktionen ist zum Beispiel ${\displaystyle f_{0}=1,f_{1}={\tfrac {x_{1}}{x_{0}}},f_{2}={\tfrac {x_{1}^{2}}{x_{0}^{2}}}}$. Die mit dieser Basis definierte Abbildung ${\displaystyle \phi _{d}}$ ist die Einbettung der projektiven Gerade als abgeschlossene Parabel in ${\displaystyle P^{2}}$. Also ist ${\displaystyle D}$ sehr ampel.[1]
• Eine elliptische Kurve in ${\displaystyle P^{2}}$ schneide eine projektive Gerade in drei Punkten ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$. Dann ist ${\displaystyle D:=P_{1}+P_{2}+P_{3}}$ sehr ampel.[2]
• Der kanonische Divisor einer algebraischen Kurve vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ ist sehr ampel wenn die Kurve nicht hyperelliptisch ist.[3]

Literatur

• E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths, J. Harris: Geometry of algebraic curves. Vol. I (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 267). Springer-Verlag, New York 1985, ISBN 0-387-90997-4

Weblinks

• Christina Birkenhake: Algebraische Geometrie – Ein Einblick (PDF; 4,8 MB) 2008

Einzelnachweise

1. Birkenhake, op, cit., Beispiel 4 & 7
2. Birkenhake, op, cit., Beispiel 9
3. Birkenhake, Algebraische Geometrie - ein Einblick, 2008 (siehe Weblinks), Beispiel 8