Additive Funktion

Additive, subadditive u​nd superadditive Funktionen s​ind mathematische Objekte. Es s​ind bestimmte Klassen v​on Funktionen. Lineare Abbildungen s​ind besondere additive Funktionen.

Definition

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

erfüllt.[1] Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Linearität.

Sub- und Superadditive Funktionen

Ist ${\displaystyle M}$ eine Halbgruppe mit der Verknüpfung ${\displaystyle +}$, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ subadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:[2]

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:[2]

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$.

Beispiele

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.
• Sublineare Funktionen sind subadditiv.
• Lineare Abbildungen sind additiv.

Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
• Ist ${\displaystyle f}$ eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ von Elementen aus ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})}$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei zahlentheoretischen Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ betrachtet man als Verknüpfung auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$

für alle teilerfremden ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {N} }$ gilt. Gilt dies sogar für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung d​er Additivität (auf disjunkte s​tatt beliebige Vereinigungen) g​ibt es i​n der Maßtheorie.

Siehe auch

• σ-Subadditivität
• σ-Additivität

Einzelnachweise

1. Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 978-981-02-3544-4, S. 1.
2. Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8, S. 8.