σ-Subadditivität

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {M}}$ auf der Grundmenge $X$ , also ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ . Eine Abbildung

f\colon {\mathcal {M}}\to \left[0,\infty \right]

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen $A_{1},A_{2},\dots$ aus ${\mathcal {M}}$ und jedes $A\in {\mathcal {M}}$ mit $A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ gilt, dass

f(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})

ist.[1] Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist, $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}}$ zu fordern.

Beispiele

Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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[books-K9EoBAAAQBAJ-15-1] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).