Zwillingskreise des Archimedes

Bei d​en Zwillingskreisen d​es Archimedes handelt e​s sich u​m zwei Kreise, d​ie in e​inen Arbelos (auch a​ls Sichel d​es Archimedes bezeichnet) einbeschrieben sind.

Arbelos (schwarz) und Zwillingskreise des Archimedes (blau)

Definition und Eigenschaften

Die roten Kreise sind kongruent und flächengleich zum Arbelos:
${\displaystyle |BD|=|EF|}$, ${\displaystyle r_{k}={\frac {|DB|}{2}}={\frac {|EF|}{2}}={\sqrt {r_{1}r_{2}}}}$

Zeichnet man in einem Arbelos die Senkrechte zum Durchmesser am Berührungspunkt der beiden inneren Halbkreise ein, so teilt sie diesen in zwei Teile, und in jedem dieser Teile gibt es einen Kreis, der den äußeren Halbkreis, den entsprechenden inneren Halbkreis und die Senkrechte berührt. Diese beiden Kreise bezeichnet man als die Zwillingskreise des Archimedes, da sie kongruent sind. Ihr Radius ${\displaystyle r}$ beträgt:[1]

${\displaystyle r={\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}$

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ die Radien der beiden inneren Halbkreise des Arbelos.

Die gemeinsame Tangente e​ines Zwillingskreises u​nd des zugehörigen inneren Halbkreises g​eht durch d​en Berührpunkt d​es anderen inneren Halbkreises m​it dem äußeren Halbkreis. Der kleinste Kreis d​en die beiden Zwillingskreise v​on innen berühren i​st flächengleich z​um Arbelos.:[1]

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion eines Zwillingskreis

Bei einem gegebenen Arbelos bezeichnet man die drei Punkte auf der Grundseite mit ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$, so dass der Halbkreis über ${\displaystyle AC}$ der äußere Halbkreis des Arbelos ist und die Halbkreise über ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle BC}$ seine beiden inneren Halbkreise. Weiterhin bezeichne ${\displaystyle D}$ den Schnittpunkt der Senkrechten in ${\displaystyle B}$ mit dem äußeren Halbkreis und ${\displaystyle M_{1}}$ den Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle AB}$.

Nun konstruiert man die Tangente vom Punkt ${\displaystyle C}$ an den Halbkreis über ${\displaystyle AB}$. Diese berührt den Halbkreis in ${\displaystyle T}$ und schneidet die Strecke ${\displaystyle BD}$ in ${\displaystyle S}$. Anschließend konstruiert man die Winkelhalbierende des Winkels ${\displaystyle \angle DST}$ und die Gerade ${\displaystyle M_{1}T}$, diese schneiden sich in ${\displaystyle U}$, dem Mittelpunkt des Zwillingskreises, mit der Strecke ${\displaystyle UT}$ als dessen Radius. Den zweiten Zwillingskreis erhält man anhand einer entsprechenden Konstruktion mit dem Halbkreis über${\displaystyle BC}$.[1]

Historisches

Die Konstruktion findet s​ich im Buch d​er Lemmata, dessen Zuschreibung a​n Archimedes allerdings fraglich ist.

Siehe auch

• Archimedischer Kreis
• Bankoff-Kreise
• Apollonisches Problem – der allgemeine Fall der Konstruktion eines Berührkreises zu drei gegebenen Kreisen, Geraden oder Punkten

Literatur

• Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
• Leon Bankoff: Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?. Mathematics Magazine, Band 47, Nr. 4 (Sep., 1974), S. 214–218 (JSTOR)
• Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu: Those Ubiquitous Archimedean Circles. Mathematics Magazine, Band 72, Nr. 3 (Jun., 1999), S. 202–213 (JSTOR)
• Shailesh A. Shirali: A generalisation of the arbelos theorem of Archimedes. The Mathematical Gazette, Band 95, Nr. 533 (Juli 2011), S. 197–205 (JSTOR)

Weblinks

• Animierter Beweis zu den Zwillingskreisen des Archimedes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Eric Weisstein Archimedes Circles, Wolfram Mathworld
• Interaktives Diagramm, das zahlreiche Archimedische Kreise visualisiert (englisch)

Einzelnachweise

1. Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200