Arbelos

Der Arbelos (griechisch Άρβυλος Arbylos für „Schustermesser“) o​der die Sichel d​es Archimedes i​st eine spezielle, v​on drei Halbkreisen begrenzte geometrische Figur. Der berühmte griechische Mathematiker Archimedes s​oll die Eigenschaften d​es Arbelos untersucht u​nd in seinem Buch d​er Lemmata beschrieben haben.

Arbelos mit flächengleichem Kreis

Das namengebende Schustermesser

Arbelos-Skulptur in Kaatsheuvel, Niederlande

Beschreibung und Eigenschaften

Auf dem Durchmesser ${\displaystyle AB}$ eines Halbkreises wählt man einen Punkt ${\displaystyle D}$ und errichtet dann Halbkreise über ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle DB}$. Die sichelförmige Restfigur, die entsteht, wenn man die Halbkreise über ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle DB}$ aus dem Halbkreis über ${\displaystyle AB}$ entfernt, wird als Arbelos bezeichnet.

Errichtet man im Punkt ${\displaystyle D}$ eine Senkrechte zum Durchmesser ${\displaystyle AB}$, so schneidet diese den zugehörigen Halbkreis in ${\displaystyle C}$. Zu den bekanntesten Aussagen über den Arbelos gehört nun, dass die Fläche des Kreises mit Durchmesser ${\displaystyle CD}$ der Fläche des Arbelos entspricht. Dabei gilt:[1]

${\displaystyle F_{Arbelos}=F_{Kreis}={\frac {\pi \cdot |AD|\cdot |DB|}{4}}}$

Anhand expliziter Flächenberechnungen

Man zeichne das Hilfsdreieck ${\displaystyle ABC}$. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig und die Seite ${\displaystyle AB}$ seine Hypotenuse, bestehend aus den Abschnitten ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle DB}$. Nach dem Höhensatz des Euklid ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich dem Produkt der beiden Hypotenusen-Abschnitte:

${\displaystyle |DC|^{2}=|AD|\cdot |DB|}$

Der Kreis, dessen Durchmesser durch ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle C}$ geht, habe den Radius ${\displaystyle r}$. Die Höhe des Dreiecks ist also ${\displaystyle 2r}$. Die Strecke ${\displaystyle AB}$ ist der Durchmesser des großen Halbkreises. Nennt man den Radius des kleineren Halbkreises ${\displaystyle a}$ und denjenigen des kleinsten Halbkreises ${\displaystyle b}$, so ist ${\displaystyle |AB|=2a+2b}$. Der Radius des großen Halbkreises ist demnach die Hälfte von ${\displaystyle 2a+2b}$, also ${\displaystyle a+b}$.

Nach dem Höhensatz des Euklid gilt: ${\displaystyle (2r)^{2}=2a\cdot 2b}$, also ${\displaystyle r^{2}=a\cdot b}$.

Mit algebraischen Methoden (also abstraktem Ausrechnen – diese standen den Griechen noch nicht zur Verfügung) sieht man schnell, dass die Behauptung stimmt (man gewinnt jedoch keinerlei Einsichten, warum das so ist). Der Flächeninhalt ${\displaystyle F}$ des Arbelos ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises minus dem Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Arbelos}&={\frac {1}{2}}\pi (a+b)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\pi a^{2}+{\frac {1}{2}}\pi b^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi (a+b)^{2}-{\frac {1}{2}}\pi \left(a^{2}+b^{2}\right)=\\&={\frac {1}{2}}\pi \left(a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi \cdot 2ab=\pi \cdot a\cdot b\end{aligned}}}$

Der Flächeninhalt des Kreises, der durch ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle C}$ geht, ist ${\displaystyle r^{2}\pi }$. Wie oben gezeigt, gilt nach dem zweiten Satz des Euklid ${\displaystyle r^{2}=a\cdot b}$. Es kann also in der Formel für den Flächeninhalt des Arbelos statt ${\displaystyle a\cdot b}$ nunmehr ${\displaystyle r^{2}}$ eingesetzt werden, somit ergibt sich:

${\displaystyle F_{Arbelos}=\pi \cdot r^{2}}$.

Damit ist bewiesen, dass der Flächeninhalt des Arbelos gleich demjenigen des Kreises ist, der durch ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle C}$ geht.

Visueller Beweis der Flächengleichheit

Der folgende besonders einfache Beweis d​er Flächengleichheit verwendet e​ine Verallgemeinerung d​es Satzes v​on Pythagoras a​uf ähnliche Figuren u​nd benötigt k​eine Flächenformeln o​der explizite Flächenberechnungen.[2]

Weitere Eigenschaften

Arbelos

Verschachtelte Arbeloskonstruktionen, die beiden grauen Halbkreise sind gleich groß

Die Länge d​es großen Bogens entspricht d​er Summe d​er Längen d​er beiden kleineren Bögen, also:[1]

${\displaystyle |{\widehat {AB}}|=|{\widehat {AD}}|+|{\widehat {DB}}|}$

Dementsprechend g​ilt auch, d​ass der Umfang d​es großen Halbkreises d​er Summe d​er Umfänge d​er beiden kleineren Halbkreise entspricht.

Der zum Arbelos flächengleiche Kreis mit Durchmesser ${\displaystyle CD}$ schneidet den Halbkreis über ${\displaystyle AD}$ in ${\displaystyle G}$ und den Halbkreis über ${\displaystyle DB}$ in ${\displaystyle F}$. Diese beiden Schnittpunkte haben eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist ihre Verbindungsstrecke ${\displaystyle FG}$ ein weiterer Durchmesser des Kreises und das Sehnenviereck ${\displaystyle CGDF}$ ist ein Rechteck, dessen Diagonalen die Strecken ${\displaystyle CD}$ und ${\displaystyle FG}$ sind. Außerdem liegt die Verbindungsstrecke ${\displaystyle FG}$ auf der gemeinsamen (äußeren) Tangente der Halbkreise über ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle DB}$ und der Punkt ${\displaystyle G}$ liegt auf der Strecke ${\displaystyle AC}$ sowie der Punkt ${\displaystyle F}$ auf der Strecke ${\displaystyle BC}$.[3][1]

Teilt man den Arbelos entlang der Senkrechten ${\displaystyle CD}$, so lässt sich für beide Teile je ein einbeschriebener Kreis konstruieren, der jeweils die Senkrechte, den äußeren Halbkreis und den jeweiligen inneren Halbkreis berührt (Spezialfall des Apollonischen Problems). Diese beiden Kreise besitzen den gleichen Radius ${\displaystyle r}$ mit

${\displaystyle r={\frac {|AD|\cdot |DB|}{2(|AD|+|DB|)}}}$

und werden a​ls Zwillingskreise d​es Archimedes bezeichnet.[3]

Das von dem Berührungspunkt ${\displaystyle D}$ der beiden inneren Halbkreise und den Mitten ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle H}$ der drei Halbkreisbögen gebildete Viereck ist ein Rechteck und seine Fläche beträgt:[4]

${\displaystyle F_{DGFH}={\frac {2}{\pi }}F_{Arbelos}}$

Führt man mit den beiden inneren Halbkreisen eines Arbelos erneut eine Arbeloskonstruktion durch, die ähnlich zum Ausgangsarbelos ist, dann sind die beiden neuen inneren Halbkreise mit dem gemeinsamen Punkt ${\displaystyle D}$ flächengleich.[4]

Varianten und Verallgemeinerungen

Beispiel für einen f-belos

• Das Konstruktionsprinzip des Arbelos kann man auch mit anderen Kurven anstatt mit Halbkreisen durchführen. Ersetzt man die Halbkreise durch Parabelsegmente, so wird die entstehende Figur als Parbelos bezeichnet.[4]

• Eine Verallgemeinerung, die sowohl den Arbelos als auch den Parbelos umfasst, ist der f-belos, der zur Konstruktion (ähnliche) Segmente differenzierbarer Funktionen verwendet.[5]

Siehe auch

• Salinon

Literatur

• Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
• R. A. Johnson: Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin, Boston 1929, S. 116–117.
• L. Raphael: The Shoemaker's Knife. In: The Mathematics Teacher, Band 66, Nr. 4 (APRIL 1973), S. 319–323 (JSTOR)
• Harold P. Boas: Reflections on the Arbelos. In: The American Mathematical Monthly, Band 113, Nr. 3 (März, 2006), S. 236–249 (JSTOR)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Arbelos. In: MathWorld (englisch).
• Interaktives Diagramm, das zahlreiche Eigenschaften visualisiert (englisch)
• Arbelos auf mathematische-basteleien.de

Einzelnachweise

1. R. A. Johnson: Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin, Boston 1929, S. 116–117.
2. Roger B. Nelsen: Proof without Words: The Area of an Arbelos. In: Mathematics Magazine, Band 75, Nr. 2 (Apr., 2002), S. 144
3. Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
4. Jonathan Sondow: The Parbelos, a Parabolic Analog of the Arbelos. In: The American Mathematical Monthly, Band 120, Nr. 10 (Dezember 2013), S. 929–935 (JSTOR)
5. Antonio M. Oller-Marcen: The f-belos. In: Forum Geometricorum, Band 13 (2013), S. 103–111.