Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung

In d​er Statistik u​nd Ökonometrie i​st die zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung bzw. zweistufige KQ-Schätzung (ZSKQ-Schätzung), a​uch zweistufige Methode d​er kleinsten Quadrate (englisch Two Stage Least Squares, kurz: TSLS o​der 2SLS) genannt, e​in durch d​en Ökonometriker Henri Theil entwickeltes Schätzverfahren m​it beschränkter Information. Bei diesem zweistufigen Verfahren werden a​ls erstes d​ie endogenen (d. h. d​ie mit d​er Störgröße korrelierten Variablen) a​uf alle exogenen Variablen d​er Gleichung u​nd alle Instrumente regressiert. Als zweites werden d​ie so gewonnenen geschätzten Werte für d​ie endogenen Regressoren, d​ie als Linearkombination exogener Variablen n​icht mit d​em Störterm korreliert sind, d​ann ins Ursprungsmodell eingesetzt u​nd das s​o entstehende n​eue Modell geschätzt. Der zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzer k​ann als Instrumentvariablenschätzer interpretiert werden. Die ZSKQ-Schätzung i​st nach d​er gewöhnlichen Methode d​er kleinsten Quadrate a​n zweiter Stelle b​ei der Schätzung linearer Gleichungen i​n der angewandten Ökonometrie.

Das Verfahren

Gegeben sei ein typisches multiples lineares Regressionsmodell ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ (wahres Modell), mit ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ dem ${\displaystyle (p\times 1)}$-Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der ${\displaystyle (n\times p)}$-Versuchsplanmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$, dem ${\displaystyle (n\times 1)}$-Vektor der abhängigen Variablen ${\displaystyle \mathbf {y} }$ und dem ${\displaystyle (n\times 1)}$-Vektor der Störgrößen ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$. Der verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzer (VKQ-Schätzer) kann auf unterschiedliche Art und Weise ausgedrückt werden. Jede dieser Ausdrucksweisen hat ihre eigene Interpretation. Eine bekannte Spezifikation ist die sogenannte zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung, die von Henri Theil entwickelt wurde. Für die Herleitung des zweistufigen Kleinste-Quadrate-Schätzers lässt sich der verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzer ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}}$ wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}=(\mathbf {Z} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Z} _{i})^{-1}\mathbf {Z} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}={\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}$

Die reduzierte Form lautet ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {\Pi } +\mathbf {V} }$. Die ${\displaystyle i}$-te Gleichung der reduzierten Form kann wie folgt partitioniert werden:

${\displaystyle [\mathbf {y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}\;\;\mathbf {Y} _{i}^{*}]=\mathbf {X} [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]+[\mathbf {v} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}\;\;\mathbf {V} _{i}^{*}]}$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {y} _{i}}$ der ${\displaystyle (T\times 1)}$-Vektor der ${\displaystyle i}$-ten gemeinsam abhängigen Variablen ist, ${\displaystyle \mathbf {Y} _{i}^{*}}$ die anderen gemeinsam abhängigen Variablen in der ${\displaystyle i}$-ten Gleichung beinhaltet, ${\displaystyle \mathbf {Y} _{i}^{*}}$ die ${\displaystyle (T\times m_{i}^{*})}$-Matrix der gemeinsam abhängigen Variablen ist, die nicht in der ${\displaystyle i}$-ten Gleichung auftauchen, und ${\displaystyle [\pi _{i}\;\;\mathbf {\Pi } \;\;\mathbf {\Pi } _{i}^{*}]}$ die partitionierte Matrix von Koeffizienten der reduzierten Form ist. Der Kleinste-Quadrate-Schätzer von ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{i}}$ lautet ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Pi } }}_{i}=(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}}$ und daher gilt durch Zuhilfenahme der Prädiktionsmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}=\mathbf {X} {\hat {\mathbf {\Pi } }}_{i}={\hat {\mathbf {Y} }}_{i}=\mathbf {Y} _{i}-{\hat {\mathbf {V} }}_{i}}$, wobei ${\displaystyle {\hat {\mathbf {Y} }}_{i}}$ die ${\displaystyle (T\times (m_{i}-1))}$-Matrix der vorhergesagten Werte von ${\displaystyle \mathbf {Y} _{i}}$ ist. Durch die Tatsache, dass ${\displaystyle (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )=\mathbf {I} }$, kann man auch schreiben:[1]

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}={\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {Y} _{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {Y} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}={\begin{pmatrix}{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}&{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}&\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {X} _{i}\\\\\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\mathbf {X} _{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}\\\\\end{pmatrix}}}$

Wenn man ${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}_{i}=[{\hat {\mathbf {Y} }}_{i}\;\;\mathbf {X} _{i}]}$ definiert, dann kann der zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzer wie folgt spezifiziert werden

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\delta }}}_{i}=({\hat {\mathbf {Z} }}_{i}^{\top }{\hat {\mathbf {Z} }}_{i})^{-1}{\hat {\mathbf {Z} }}_{i}^{\top }\mathbf {y} _{i}}$.[2]

Literatur

• George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4.

Einzelnachweise

1. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 645.
2. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 645.

Weblinks

• Springer Gabler Verlag, Gabler Wirtschaftslexikon, Stichwort: Kleinstquadratemethode, zweistufige