Zufallsfeld

Ein Zufallsfeld, a​uch zufälliges Feld, engl. random field, w​ird benötigt, w​enn man zufallsbeeinflusste Phänomene i​m Raum modellieren will, z. B. d​en Kohlendioxidgehalt i​n der Atmosphäre i​n Ballungsräumen, o​der die Niederschlagsmenge i​n verschiedenen Regionen Deutschlands.

Mathematische Definition

Ein Zufallsfeld ist eine Familie ${\displaystyle \{Y(x,\cdot )\}_{x\in R^{d}}}$ von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$. Dabei ist ${\displaystyle d}$ eine natürliche Zahl. Im Fall ${\displaystyle d=1}$ spricht man von einem stochastischen Prozess, dann spielt ${\displaystyle x}$ die Rolle des Zeitparameters und wird in der Regel mit ${\displaystyle t}$ bezeichnet. Für ein realisiertes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ist dann ${\displaystyle Y(x,\omega )=y(x)}$ eine Realisierung, auch Trajektorie des Zufallsfeldes. Häufig interessiert man sich z. B. für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Trajektorie einen bestimmten Wert übersteigt, siehe z. B.[1] (Anwendungsbeispiel: Hochwasserschutz)

Trend, Kovarianz, Stationarität, Isotropie

Die Erwartungswertfunktion

${\displaystyle EY(x,\cdot )=m(x),x\in R^{d}}$

wird a​ls Trend u​nd die Zweite-Moment-Funktion

${\displaystyle E[Y(x,\cdot )-m(x)][Y(z,\cdot )-m(z)]=r(x,z)}$

als Kovarianzfunktion d​es Zufallsfeldes bezeichnet. Zufallsfelder, für d​ie Trend u​nd Kovarianzfunktion existieren, heißen Zufallsfelder 2. Ordnung. Zufallsfelder m​it konstantem Trend u​nd verschiebungsinvarianter Kovarianzfunktion, d. h.

${\displaystyle m(x)=m,\quad r(x,z)=r(x-z)}$

nennt m​an stationär i​m weiteren Sinne. Stationarität i​m engeren Sinne erfordert Verschiebungsinvarianz n​icht nur d​er ersten beiden Momente, sondern a​ller endlichdimensionalen Verteilungen d​es zufälligen Feldes. Ist d​ie Kovarianzfunktion rotationsinvariant, d. h.

${\displaystyle r(x,z)=r(\|x-z\|),\quad \|\cdot \|}$ Euklidischer Abstand,

dann n​ennt man d​as Zufallsfeld isotrop.

Vorhersage von Werten des Zufallsfeldes

Hat man das Zufallsfeld an den Orten ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ beobachtet mit den Resultaten ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$, so kann man daraus eine Vorhersage ${\displaystyle {\hat {Y}}(x)}$ des Zufallsfeldes an einer nichtbeobachteten Stelle ${\displaystyle x}$ konstruieren. Die beste Vorhersage, die den mittleren quadratischen Fehler minimiert, ist die bedingte Erwartung von ${\displaystyle Y(x,\cdot )}$, gegeben die Beobachtungen ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$, d. h.

${\displaystyle {\hat {Y}}(x)=E[Y(x,\cdot )|y_{1},...,y_{n}]}$.

Diese Vorhersage lässt s​ich ohne weitere Verteilungsannahmen n​icht berechnen. Bei bekannter Kovarianzfunktion d​es Zufallsfeldes lässt s​ich jedoch m​it wenig Aufwand d​ie beste lineare Vorhersage berechnen.

Anwendung in der Geostatistik

In d​er Geostatistik w​ird in d​er Regel anstatt d​er Kovarianzfunktion i​n äquivalenter Weise d​as Semivariogramm

${\displaystyle V(x,z)={\frac {1}{2}}E[Y(x,\cdot )-Y(z,\cdot )]^{2}}$,

d. h. der halbe (semi) Erwartungswert der quadratischen Differenz ${\displaystyle Y(x)-Y(z)}$, benutzt. Die beste lineare Vorhersage heißt in geostatistischer Terminologie Kriging, siehe z. B.[2] Die Dimension ${\displaystyle d}$ des Zufallsfeldes ist hier in der Regel auf natürliche Weise gegeben, z. B. ${\displaystyle d=2}$ für die Oberflächentemperatur eines Sees, ${\displaystyle d=3}$ für Probleme der Lagerstättenerkundung im Bergbau, ${\displaystyle d=4}$ für raum-zeitliche Phänomene in der Meteorologie.

Literatur

• R. Adler, J. Taylor: Random Fields and Geometry. Springer, New York 2007.
• N. Cressie: Statistics for Spatial Data. World Scientific, Singapore 2007.
• E. Vanmarcke: Random Fields: Analysis and Synthesis. World Scientific, Singapore 2010.

Einzelnachweise

1. R. J. Adler: The Geometry of Random Fields. Wiley, Chichester/ New York/ Toronto 1981.
2. J. P. Chiles, P. Delfiner: Geostatistics: Modelling Spatial Uncertainty. Wiley, New York 1999.