Erwartungswertfunktion

Eine Erwartungswertfunktion[1] o​der Mittelwertfunktion[2] i​st eine reellwertige Funktion i​n der Theorie d​er stochastischen Prozesse, e​inem Teilgebiet d​er Stochastik. Sie k​ann jedem integrierbaren Prozess zugeordnet werden u​nd gibt anschaulich an, welche Werte d​er Prozess z​u welchem Zeitpunkt i​m Mittel annimmt. Anwendung finden Erwartungswertfunktionen beispielsweise b​ei der Theorie d​er Gauß-Prozesse, d​ie durch d​ie Kovarianzfunktion u​nd die Erwartungswertfunktion eindeutig bestimmt sind, o​der bei d​er Untersuchung v​on inhomogenen Poisson-Prozessen.

Definition

Gegeben sei ein integrierbarer stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$.

Dann heißt d​ie Funktion

${\displaystyle M\colon T\to \mathbb {R} }$

definiert durch

${\displaystyle M(t):=\operatorname {E} (X_{t})}$

die Mittelwertfunktion des Prozesses. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ den Erwartungswert der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$.

Interpretiert man die Indexmenge ${\displaystyle T}$ als Zeit, so ordnet die Erwartungswertfunktion jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ den mittleren Wert des stochastischen Prozesses zu diesem Zeitpunkt zu.

Beispiel

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ein Martingal bezüglich der Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$. Per Definition gilt dann für alle ${\displaystyle s>t}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{s}|{\mathcal {F}}_{t})=X_{t}}$.

Durch Erwartungswertbildung u​nd die Rechenregeln d​es bedingten Erwartungswertes erhält man

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{s})=\operatorname {E} (\,\operatorname {E} (X_{s}|{\mathcal {F}}_{t}))=\operatorname {E} (X_{t})}$,

also

${\displaystyle M(t)\equiv \operatorname {E} (X_{0})}$.

Somit besitzen Martingale konstante Funktionen a​ls Erwartungswertfunktionen. Durch analoge Überlegungen lässt s​ich auch zeigen, d​ass Submartingale monoton wachsende Erwartungswertfunktionen besitzen u​nd Supermartingale monoton fallende Erwartungswertfunktionen besitzen.

Literatur

• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Weblinks

• Yu.A. Rozanov, D.V. Anosov: Gaussian Process. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 345.
2. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 292.